Полилинейные формы и критерий Сильвестра

[StepV]

Уважаемые коллеги! Мне нужно что-то подобное критерию Сильвестра, но для полилинейной формы. Подскажите направление поиска. Есть ли для полилинейных форм такой критерий и где посмотреть подробную информацию по полилинейным формам.

[demolishka]

Таких (таких же практичных) не бывает. Почему не бывает - вопрос правильный и глубокий. Квадратичная форма - это штука линейная (даже самая лучшая из линейных - самосопряженный оператор). Формы высших степеней - уже увы.

[vpb]

Направление поиска может быть такое. Ввести в Гугл "positive definite multilinear", и, о чудо, будет ссылка на некую статью.
Её можно почитать. Можно также посмотреть, на какие статьи есть ссылки в ней. А еще, что характерно, можно посмотреть по гугл сколару, кто (какие работы то есть) на эту статью саму ссылаются (т.е. "ссылки вперед". О-о-чень полезное орудие ! ) И т.д. дальше попутешествовать по дереву ссылок. Как-то так. Еще можно в либгене в строку поиска ввести "multilinear", и тоже будет нетривиальный результат.

А для общего знакомства можно почитать последнюю главу в Кострикин-Манине, а также Yokonuma, Tensor spaces and exterior algebra. А вообще, полилинейная алгебра --- тёмная вещь. Например, ранг билинейной формы найти легко, а трилинейной (для них тоже есть некоторое понятие ранга) --- почти невозможно.

Конкретно, чисто своей головой, без всяких книжек, можете подумать над таким вопросом: существует ли конечное множество многочленов от коэффициентов четырехлинейной симметрической формы на двумерном (для начала) пространстве, кои отвечают за ея положительную определенность (что значит, что всегда $f(x,x,x,x)>0$) ? (Я не знаю ответ. Впрочем, и сам этот вопрос вне моего интереса в настоящий момент).