Суммы степеней переменных, система уравнений с параметрами

[april17]

Дано

$$ \begin{cases} y_1+y_2+\ldots+y_n=x_1+x_2+\ldots+x_n,\\ y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2,\\ y_1^3+y_2^3+\ldots+y_n^3=x_1^3+x_2^3+\ldots+x_n^3,\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ y_1^n+y_2^n+\ldots+y_n^n=x_1^n+x_2^n+\ldots+x_n^n. \end{cases} $$

Здесь $n$ - фиксированное натуральное число.

Я так понимаю, что тогда $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ - это перестановка $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Это верно?

Для тривиального случая $n=2$ я это доказал, там дело сводится к теореме Виета для квадратного уравнения. А как рассуждать в случае произвольного $n$?

На исходную систему конечно можно смотреть как на систему уравнений относительно неизвестных $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ с параметрами $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$.

[nnosipov]

april17 в сообщении #1544324 писал(а):

Я так понимаю, что тогда $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ - это перестановка $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Это верно?

Верно. Но есть нюанс. Знакомы ли Вы с понятием поля? Характеристики поля?

april17 в сообщении #1544324 писал(а):

Для тривиального случая $n=2$ я это доказал, там дело сводится к теореме Виета для квадратного уравнения. А как рассуждать в случае произвольного $n$?

Здесь потребуется основная теорема о симметрических многочленах. Прочитайте про нее где-нибудь, а потом вернитесь к задаче.

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1544346 писал(а):

Здесь есть простое рассуждение, для которого она не нужна.

Понятно, что здесь идет речь о частном случае: надо всего лишь выразить степенные суммы через элементарные симметрические многочлены. Для этого есть рекуррентные формулы Ньютона, например.

[xagiwo]

nnosipov
а, ой, я удалил сообщение, потому что идея, которая пришла мне в голову, была ошибочна

[nnosipov]

Ничего страшного, бывает. Но про формулы Ньютона я оставлю, пусть будет доп. инф. для ТС.

[lel0lel]

Сколько решений может иметь исходная система? Сколько решений, учитывая всевозможные перестановки, найдено?