Функциональное уравнение

[marie-la]

Найти все непрерывные на $R$ функции, удовлетворяющие уравнению
$f(x+f(x))=f(x)$
Тут у меня получается, что значения функции повторяются с различными периодами (равными значениям функции):
$f(x+na)=f(x), n\in\mathbb{N}, a=f(x)$
$f(y+mb)=f(y), m\in\mathbb{N}, b=f(y)$
Если бы я знала, что функция равномерно непрерывна, то отсюда бы получилось $f(x)=Const$, поскольку $x+na$ и $y+mb$ могут быть сделаны близкими.
Но в условии просто непрерывность, а не равномерная.
Помогите, пожалуйста!

Upd: Вроде поняла, как делать. Если есть $x<y:0<f(x)<f(y)$, то можно выбрать $x<z<t\leq y$ такие, что $f(z)<f(t), f(z)=\min\limits_{[z,t]}f(\xi), f(t)=\max\limits_{[z,t]}f(\xi)$. Потом отображаем отрезок $[z,t]$ функцией $g(\xi)=\xi+f(\xi)$ в $[z+f(z),t+z(t)]$, и значения функции на новом отрезке такие же: $[f(z),f(t)]$. Продолжая таким же образом, накрываем в конце концов одну из точек $x+nf(x)$. Противоречие. Там аккуратно расписать другие случаи - и все. Но такое решение кажется мне таким корявым! Подскажите хорошее.

[novichok2018]

Решения нет в стандартных книгах - Ацель и тд.?

[xagiwo]

(Оффтоп)

marie-la в сообщении #1544063 писал(а):

непрерывные на $R$ функции

$\mathbb{R}$

$\mathbb{R}$

[marie-la]

novichok2018
Не знаю, я не смотрела книжки. Думала, что оно простое, чуть погуглила - не нашла.
Если дадите ссылку на книжку, буду благодарна.

[Padawan]

Пусть $\Gamma$ -- график функции. Заметим, что если $(\xi,\eta)\in\Gamma$, то $(\xi+\eta,\eta)\in\Gamma$.
Пусть $f(x)>0$. Возьмем любую точку $y>x$. Пусть $n\in\mathbb N$ такое, что $z=x+nf(x)>y$. Тогда $x<y<z$ и $f(x)=f(z)$. Предположим, что $f(y)$ не равно $f(x)$. Тогда кусок графика на отрезке $[x,z]$ в результате многократного применения отображения $(\xi,\eta)\mapsto (\xi+\eta,\eta)$ перейдет в кривую, которая не может быть графиком функции (одному и тому же значению аргумента соответствует по крайней мере два значения функции).

[marie-la]

Padawan
Да, это хорошо, спасибо!

[пианист]

Padawan в сообщении #1544140 писал(а):

одному и тому же значению аргумента соответствует по крайней мере два значения функции

А можно поподробней, почему так?

[novichok2018]

Задача и решение есть в книге: Christopher G. Small. Functional Equations and How to Solve Them, Springer, 2007.
Задача 22 на стр. 78, решение на стр.112. Книга вроде есть в инете. Непрерывное решение только постоянная.
Более общее уравнение с двумя переменными есть в книге Lectures on FUNCTIONAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS by J. ACZEL , 1966. Стр. 132. Там интересно написано. Ваше уравнение получается при дополнительном условии $f(1)=1$, кажется.

[TOTAL]

Пусть функция $f(x)$ непостоянна и $F$ - её не самое большое значение, которое она принимает с некоторой периодичностью. Найдется промежуток $[a,b]$, в котором $f(x)$ непостоянна и $f(x)>F$. Величина $x+Mf(x)$ (за счет огромного $M$) непрерывно пробегает сколь угодно большой промежуток (когда $x$ пробегает $[a,b]$), причем всюду в этом промежутке $f(x)>F$. Так что плакала периодичность для значений $F$.

[Null]

TOTAL в сообщении #1544172 писал(а):

Пусть функция $f(x)$ непостоянна и $F$ - её не самое большое значение, которое она принимает с некоторой периодичностью. Найдется промежуток $[a,b]$, в котором $f(x)$ непостоянна и $f(x)>F$. Величина $x+Mf(x)$ (за счет огромного $M$) непрерывно пробегает сколь угодно большой промежуток (когда $x$ пробегает $[a,b]$), причем всюду в этом промежутке $f(x)>F$. Так что плакала периодичность для значений $F$.

Еще надо не забыть позаботится о $F\neq 0$ и $f(a)\neq f(b)$.

[TOTAL]

Null в сообщении #1544201 писал(а):

Еще надо не забыть позаботится о $F\neq 0$ и $f(a)\neq f(b)$.

$f(a)\neq f(b)$ не нужно, достаточно оговорённого непостоянства $f(x)$ на отрезке $[a,b]$

[marie-la]

пианист
Я идею Padawan оформила в итоге таким образом: функция $g(x)=x+f(x)$ - инъекция: действительно, пусть $x+f(x)=y+f(y)$, тогда $f(x)=f(y)$, откуда $x=y$. Значит, она монотонна, и отрезок $[x,x+f(x)]$ отображается функцией $g$ в $[x+f(x),x+2f(x)]$. При $n$-кратном применении $g$ получается $[x+nf(x),x+(n+1)f(x)]$, а, значит, никакая точка в середине отрезка (которая переходит в $y+nf(y)$) не может иметь больший или меньший период.

[пианист]

marie-la
Чёт туплю ;(
А инъективность $f$ откуда следует?

[marie-la]

пианист
$g(x)=g(y) \Rightarrow x+f(x)=y+f(y) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} x+f(x)=y+f(y) \\ f(x+f(x))=f(y+f(y)) \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} x+f(x)=y+f(y) \\ f(x)=f(y) \\ \end{array} \right. \Rightarrow x=y$

Инъективна $g$, а не $f$

[пианист]

Сори, неправильно прочел рассуждение.
Да, теперь понял мысль Padawan, спасибо.