Менее чем континуальное множество измеримо по Лебегу

[xagiwo]

Правда ли, что любое множество вещественных чисел мощности меньше континуума измеримо по Лебегу?

[novichok2018]

Сложный вопрос, ответ на который полностью зависит от используемой (явно или неявно) аксиоматики. Если принимается аксиома выбора плюс ZF- то никогда не станет известно, есть ли что-то между счётным и континуумом, поэтому похоже и поставленный вопрос есть неразрешимая задача. Если аксиома детерминированности - то между континуумом и счётными ничего нет, да и вообще все множества измеримы по Лебегу (неизмеримых конкретных никто не видел). Тогда ответ положительный.

[mihaild]

Briggs, Schaffter. Measure and Cardinality писал(а):

However, Robert Solovay has provided the answer. On the one side he has shown that there are models of ZFC in which CH fails where every set of cardinality less than $\mathfrak{c}$ is measurable. [...]
On the other side, Solovay has shown that there are models of ZFC in which CH fails where there are sets of cardinality $\aleph_1$ (the first uncountable cardinal) which are not measurable.

[novichok2018]

Интересная рифма - Соловей и Кановей. Очень качественная небольшая брошюра Кановея по-русски об аксиоме детерминированности, связях с аксиомой выбора. По делу и без пустой болтовни, и понятно.

-- 26.12.2021, 17:15 --

Уважаемый mihaild - книга Briggs, Schaffter доступна, можно ссылку? В обычном месте не нашёл.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1544329 писал(а):

книга Briggs, Schaffter доступна, можно ссылку?

https://www.jstor.org/stable/2320153 + sci-hub
Но это не книга, это заметка. Авторы там ссылаются на 35-страничную статью Мартина, Соловея Internal cohen extensions.

[Aritaborian]

novichok2018 в сообщении #1544329 писал(а):

книга Briggs, Schaffter доступна, можно ссылку?

Статья также доступна здесь.