Число подгрупп абелевой группы порядка 8

[sour]

Привет! Попалась такая задача: доказать, что число подгрупп группы порядка $8$ для любого элемента которой выполняется соотношение $x^2=e$, равно $16$.
Понятно, что эта группа будет выглядеть как $G=\{x_0=e, x_1, x_2, x_3, x_1x_2, x_1x_3, x_2x_3, x_1x_2x_3\}$, где все элементы внутри фигурных скобок различны. И я смог найти 16 подгрупп у такой группы.

(Оффтоп)

Это сначала все подгруппы порядка два, а затем все подгруппы порядка 4, а затем тривиальные подгруппы. Я понимаю, что других подгрупп порядка 2 в группе нет(потому что нет больше элементов порядка 2). Всего я насчитал с подгруппами порядка $2$ и $1$ $9$ подгрупп Но как доказать, что это все возможные подгруппы? Еще три подгруппы образуются любыми двумя элементами из $\{x_1, x_2, x_3\}$ и их произведением(типа $H=\{x_1,x_2,x_1x_2\}$). Других таких подгрупп кроме этих трех очевидно нет. Еще одна подгруппа образована всеми тремя двойными произведениями. И еще три подгруппы образованы двумя двойными произведениями и одним тройным произведением.

Но мне кажется, что это не настоящее доказательство. Ведь может быть я чего-то просто не учел. Есть ли какое-то более убедительное(и, желательно, более красивое) доказательство?

[mihaild]

Рассмотрите $G$ как векторное пространство над $\mathbb Z_2$.

[sour]

mihaild
Не очень понимаю. Для векторного пространства нам нужно поле, над которым оно будет определено. Как векторное пространство можно определить над группой?

[mihaild]

sour в сообщении #1544011 писал(а):

Как векторное пространство можно определить над группой?

$\mathbb Z_2$ можно рассмотреть и как поле (как и любое $\mathbb Z_p$).

[nnosipov]

Т.е. фактически это задача о подсчете $k$-мерных подпространств в $n$-мерном векторном пространстве над полем из $p$ элементов. Здесь есть простая формула.

[sour]

mihaild
Не очень понял, как это можно использовать. Придумал другой способ. Подгруппы могут иметь порядок либо $1$, либо $2$, либо $4$, либо $8$. Подгрупп порядка $1$ и $8$ одна штука. Подгрупп порядка $2$ семь штук, потому что состоят они все из нейтрального элемента и какого-то элемента группы, а такое возможно сделать только $7$ю способами. Остаются подгруппы порядка 4. Все они будут выглядеть с учетом коммутативности $G$ как $\{e, a, b, ab\}$, а значит образуются(и однозначно задаются) любыми двумя своими ненейтральными элементами(а значит тремя разными способами). Выбрать из 7 ненейтральных элементов 2 можно 21 способом, каждый три такие пары будут задавать одну и ту же подгруппы порядка 4, значит всего таких подгрупп будет 7. Итого $1+1+7+7=16$.