Простые частные случаи теоремы о простых в арифм прогрессиях

[xagiwo]

Где можно почитать про сабж? Вопрос навеян внезапным осознанием того, что все делители $2^{p^n} - 1$ ($p$ — простое) имеют вид $pk + 1$, ищу что-то подобное

[Sonic86]

Хассе Теория чисел (там, есс-но, про прогрессии вида $kn\pm 1, n\in\mathbb{N}$).

[xagiwo]

Sonic86, спасибо! А ещё где-нибудь про $p=kn - 1$ есть, для сравнения?

[xagiwo]

xagiwo в сообщении #1526656 писал(а):

А ещё где-нибудь про $p=kn - 1$ есть, для сравнения?

Бамп. Разобрался сегодня в этом доказательстве, рассмотрев вместо элементов порядка $n$ в $\mathbb{Z}_p$ (в доказательстве для $kn+1$ многочлен давал решениями как раз такие элементы) элементы порядка $n$ в $\mathbb{Z}_p[i]$ — каким простым оно стало! Неужели об этом нигде не написано?

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1543975 писал(а):

Неужели об этом нигде не написано?

У Хассе же есть, насколько я помню.

[xagiwo]

nnosipov
Хассе берёт многочлен, как-то его крутит-вертит и всё получается, а что за этим стоит — опускается как ненужная подробность

[nnosipov]

xagiwo
А напишите свое доказательство, мне интересно.

[xagiwo]

Утверждение. В поле характеристики $p {\not|}\; n$ круговой многочлен $\Phi_n (x)$ имеет корнями элементы порядка $n$ и только их.
Схема доказательства. В таком поле $x^n - 1$, а так же $x^d-1,\; d|n$ не имеют кратных корней. Все элементы порядка $n$ являются корнями $x^n - 1$, а формула $\Phi_n (x) = \prod_{d | n}(x^d - 1)^{\mu(n/d)}$ убивает все корни меньших порядков.

Рассмотрим поле $\mathbb{Z}_p[i]$, $p = 4k+3$, $p {\not|}\; n$. Его мультипликативная группа — циклическая порядка $p^2 - 1$. Наличие элемента $z$ порядка $n$ равносильно $n \mid p^2 - 1$. Если вдобавок положить $z = w^{p-1}$, наличие такого $w$ равносильно $n \mid \frac{p^2-1}{p-1} = p+1$.

Возьмём $w = x+iy$, $x,y \in \mathbb{Z}_p$. Тогда

$$z = \frac{(x+iy)^p}{x+iy} = \frac{x^p+(iy)^p}{x+iy} = \frac{x-iy}{x+iy}$$

.

Таким образом для $p = 4k+3$, $p {\not|}\; n$ то, что $p$ имеет вид $kn-1$ равносильно тому, что сравнение $\Phi_n (\frac{x-iy}{x+iy}) \equiv 0$ имеет решение при $x,y \in \mathbb{Z}_p$.

Дальше лень, но наверное дальше как в Хассе — рассматриваем $(x+iy)^{\varphi(n)}\Phi_n (\frac{x-iy}{x+iy})$, это многочлен с целыми или с мнимыми целыми коэфф-тами (во втором случае домножаем его на $\pm i$) и делаем так, чтобы у него при каких-то $x,y$ был хотя бы один делитель вида $4k+3$, отличный от какого-то заранее заданного набора простых чисел

[xagiwo]

nnosipov, что скажете?

[nnosipov]

xagiwo
Попозже, сегодня много работы было, сейчас не в состоянии. Но я обязательно прочитаю и напишу.

[nnosipov]

xagiwo в сообщении #1543987 писал(а):

Утверждение. В поле характеристики $p {\not|}\; n$ круговой многочлен $\Phi_n (x)$ имеет корнями элементы порядка $n$ и только их.

Да, есть такой факт.

xagiwo в сообщении #1543987 писал(а):

Рассмотрим поле $\mathbb{Z}_p[i]$, $p = 4k+3$, $p {\not|}\; n$. Его мультипликативная группа — циклическая порядка $p^2 - 1$. Наличие элемента $z$ порядка $n$ равносильно $n \mid p^2 - 1$. Если вдобавок положить $z = w^{p-1}$, наличие такого $w$ равносильно $n \mid \frac{p^2-1}{p-1} = p+1$.

Верно.

xagiwo в сообщении #1543987 писал(а):

Таким образом для $p = 4k+3$, $p {\not|}\; n$ то, что $p$ имеет вид $kn-1$ равносильно тому, что сравнение $\Phi_n (\frac{x-iy}{x+iy}) \equiv 0$ имеет решение при $x,y \in \mathbb{Z}_p$.

Тоже верно.

xagiwo в сообщении #1543987 писал(а):

Дальше лень, но наверное дальше как в Хассе

Видимо, да. Впрочем, это надо аккуратно разбирать. Сейчас выяснил, что это доказательство Хассе я в свое время лишь просмотрел по диагонали и не переварил основательно (т.е. записал по-своему). Надо будет это как-нибудь сделать.