Утверждение. В поле характеристики

круговой многочлен

имеет корнями элементы порядка

и только их.
Схема доказательства. В таком поле

, а так же

не имеют кратных корней. Все элементы порядка

являются корнями

, а формула

убивает все корни меньших порядков.
Рассмотрим поле
![$\mathbb{Z}_p[i]$ $\mathbb{Z}_p[i]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/9/bc9b6bef4e9e0ffdf8eb09bf631befb082.png)
,

,

. Его мультипликативная группа — циклическая порядка

. Наличие элемента

порядка

равносильно

. Если вдобавок положить

, наличие такого

равносильно

.
Возьмём

,

. Тогда

.
Таким образом для

,

то, что

имеет вид

равносильно тому, что сравнение

имеет решение при

.
Дальше лень, но наверное дальше как в Хассе — рассматриваем

, это многочлен с целыми или с мнимыми целыми коэфф-тами (во втором случае домножаем его на

) и делаем так, чтобы у него при каких-то

был хотя бы один делитель вида

, отличный от какого-то заранее заданного набора простых чисел