Диофантово уравнение четвёртой и шестой степени.

[Dmitriy40]

TR63 в сообщении #1541689 писал(а):

Ещё меня интересует вопрос: существуют ли натуральные решения $a>1$ при $a_1-a_2-a_3=1$ в уравнении

$$a_1a^{12}-a_2a^8-a_3a^4+3=q^2$$

nnosipov в сообщении #1541740 писал(а):

Возьмите компьютер, поищите решения. Если их вдруг не окажется, тогда появится хоть какая-то мотивация заняться этим уравнением. Но они (решения), скорее всего, будут.

Решения разумеется есть:

for(a2=1,1000, for(a3=1,1000, a1=a2+a3+1; for(a=2,100, q=0; if(issquare(a1*a^12-a2*a^8-a3*a^4+3,&q), printf("a1=%d, a2=%d, a3=%d, a=%d, q=%d\n", a1,a2,a3,a,q)))))

$a_1=558, a_2=249, a_3=308, a=11, q=41847218$
$a_1=1136, a_2=287, a_3=848, a=11, q=59709238$
$a_1=1276, a_2=319, a_3=956, a=11, q=63281642$
$a_1=863, a_2=347, a_3=515, a=13, q=141795502$
$a_1=1510, a_2=1187, a_3=322, a=11, q=68838742$
$a_1=3744, a_2=3245, a_3=498, a=13, q=295339438$
$a_1=3302, a_2=419, a_3=2882, a=23, q=8506589038$
$a_1=2098, a_2=601, a_3=1496, a=11, q=81143662$
$a_1=10699, a_2=851, a_3=9847, a=13, q=499264978$
$a_1=2902, a_2=973, a_3=1928, a=11, q=95433278$

[TR63]

Dmitriy40, спасибо.

TR63 в сообщении #1543801 писал(а):

Значит достаточно рассматривать $x\geq y+1$ (т.к. в области определения один положительный корень и левее функция будет убывать).

Следует уточнить: если действительных корней три; для одного действительного корня тоже достаточно.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #1543801 писал(а):

Тогда уравнение
TR63 в сообщении #1541689

писал(а):
уравнение

$$x^3-(3y-1)x^2+(y^3-y)x-(y^2-1)=0$$

можно записать так

$$f=x^3+(3x+1)x^2-(y^3-y-2)x-(y^2-1)=0$$

Ерунда Магия какая-то.

[TR63]

Подставляем в уравнение (Ваше, без опечатки)

$$x^3-(3y-1)x^2+(y^3-y+2)x-(y^2-1)=0$$

$x>0$, $y<0$. Получаем уравнение

$$f=x^3+(3x+1)x^2-(y^3-y-2)x-(y^2-1)=0$$

Здесь уже исследуем при $x>0$, $y>0$.
Почему ерунда? Что не так? Не поняла. Пожалуйста, объясните.

[nnosipov]

TR63 в сообщении #1543840 писал(а):

Подставляем в уравнение (Ваше, без опечатки)

Что подставляем-то?

[TR63]

Делаем замену переменных $x=+x_1$, $y=-y_1$ (здесь область $x>0$, $y<0$)и подставляем в уравнение. С учётом того, что уже рассматривается область $x_1>0$, $y_1>0$, получим

$$(+x_1)^3-(3(-y_1)-1)(+x_1)^2+((-y_1)^3-(-y_1)+2)(+x_1)-((-y_1)^2-1)=0$$

$$f=x_1^3+(3x_1+1)x_1^2-(y_1^3-y_1-2)x_1-(y_1^2-1)=0$$

Но условие $x\geq y+1$ перейдёт в условие $x_1\geq(-y_1+1)$. Ага, понятно. Т.е. надо рассматривать область $x_1\leq y_1$.
nnosipov, спасибо. Поняла, где ерунда (причём абсолютная (непрерывная); ранее для уравнения шестой степени была получена ерунда частичная в виде полученного достаточного условия и соответственно результат не был непрерывным относительно правда\ ложь; в данной задаче "махровая" классика говорит, что результат должен быть непрерывен и гипотетические рассуждения говорят об этом же, но это к делу не пришить).

[nnosipov]

Вместо $(3x_1+1)x_1^2$ должно быть $(3y_1+1)x_1^2$. Вот где ерунда.

[TR63]

nnosipov в сообщении #1543874 писал(а):

должно быть $(3y_1+1)x_1^2$

Да. Это опечатка. В черновике у меня также. (Медленная загрузка, мешает проверять написанное; отправляю без проверки.)