Псевдо унитарная матрица

[TelmanStud]

Доброго времени суток.
Какой общий вид (как можно сгенерировать) матрицы $A_{N\times N}$ такие, что
$A^\dagger Q A=Q$, где $Q= \operatorname{diag}\{I_m,-I_n\},\, m+n=N$. Здесь $I_k$ единичная матрица.
Я пытался через повороты с растяжением

$$\prod_{i,j}R_{i,j}(\alpha_{ij},\kappa_{ij}),$$

где
$R_{i,j}(\alpha_{ij},\kappa_{ij})$ это $N\times N$ матрица поворота c растяжением.
Однако это довольно громоздко. Может существует что либо вроде https://en.wikipedia.org/wiki/Householder_transformation.

[zykov]

Что надо-то?
Привести квадратичную форму к диагональному виду?
Если да, смтори "Приведение квадратичной формы к каноническому виду".

[TelmanStud]

zykov
Матрицу $A\in U(m,n)$ сконструировать, желательно в общем виде.

zykov в сообщении #1543060 писал(а):

Что надо-то?
Привести квадратичную форму к диагональному виду?
Если да, смтори "Приведение квадратичной формы к каноническому виду".

[artempalkin]

TelmanStud
Ну, подойдут "реально" ортогональные матрицы... вы думаете, что подойдут какие-то другие? Что-то я сомневаюсь, хотя это нужно доказывать, конечно

-- 16.12.2021, 10:53 --

TelmanStud
Да нет, никакие кроме ортогональных матриц не подойдут.
У вас получается, что у вашей матрицы строки должны составлять ОНБ, а это значит, что она ортогональна. Других вариантов быть не может.

В комплексном случае та же история. Подойдут только унитарные матрицы. При этой любая унитарная матрица подойдет

Получается, что вы придумали еще одно определение: Матрица $A$ ортогональна тогда и только тогда, когда $Q=A^TQA$, где $Q$ - определенная вами матрица (на диагонали единицы и минус единицы) :)

[mihiv]

artempalkin в сообщении #1543131 писал(а):

Подойдут только унитарные матрицы. При этой любая унитарная матрица подойдет

Это не обязательно унитарная матрица, потому что столбцы матрицы $A$ должны удовлетворять условию:

$$a_{ki}^*g(k,k)a_{kj}=g(i,j)\delta _{ij}$$

где $g(i,j)=\begin {cases}1, if \max (i,j)\leq m\\-1, if \max (i,j)>m\end {cases}$(индефинитное скал. произведение).
В простейшем случае $A$ можно, например, выбрать в блочно диагональном виде: на диагонали произвольные унитарные матрицы: $U_1$-размера $m\times m$ и $U_2$- размера $n\times n$, остальные элементы равны 0. Правда, конкретно эта матрица -унитарная.

[artempalkin]

Вы же заметили, что справа стоит та же матрица $Q$? Это означает, что произведение строки на минус единицу и потом саму на себя (матрично, сопряженную) даёт минус один. А это значит норма каждой строки есть единицу
Да, согласен, я не с той стороны подумал об элементарных преобразованиях

Ну тогда мне не кажется, что как-то можно красиво обобщить эти матрицы. Да, квазиунитарная

[mihiv]

Приведу простой пример не унитарной матрицы. Пусть $Q=\begin {pmatrix}1&0\\0&-1\end {pmatrix}, A=\begin {pmatrix}\sqrt 2&1\\1&\sqrt 2\end {pmatrix}.$ Тогда $A^{+}QA=Q$, хотя $A$ не унитарная матрица.

[xagiwo]

artempalkin Эти матрицы определяют преобразования, которые оставляют на месте фигуру $|x_1|^2 + ... + |x_m|^2 - |x_{m+1}|^2 - ... - |x_{m+n}|^2 = 1$ (по аналогии с унитарными, которые оставляют на месте сферу)

[ilghiz]

$A^\dagger Q A=Q~ \to ~ QA = AQ,$
помня, что $Q$ содержит $1$ в верхнем подблоке, и $-1$ в нижнем подблоке, $A$ будет блочно диагональная из двух блоков, причем внутри каждого блока Вы можете выбрать произвольную невырожденную квадратную матрицу. Или вы под $A^\dagger$ что-то кроме псевдообратной подразумевали?

[xagiwo]

TelmanStud в сообщении #1543054 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Householder_transformation

вроде обобщается, просто вместо скалярного произведения $\langle x, v \rangle = v^\dagger x$ нужно использовать $v^\dagger Q x$

[TelmanStud]

artempalkin
Спасибо. Да знаю. У меня они $R_{i,j}$ представляют из себя "окаймленные" матрицы $N\times N$, построенные из
$R_{i,j}=\kappa_{ij}\left(\begin{matrix} \cos\alpha_{ij} & \sin\alpha_{ij}\\ -\sin\alpha_{ij} & \cos\alpha_{ij} \end{matrix}\right),$ если $(i \le m \text{ and }j\le m) $ или $(i \ge m \text{ and }j\ge m) $
$R_{i,j}=\kappa_{ij}\left(\begin{matrix} \cosh\alpha_{ij} & \sinh\alpha_{ij}\\ \sinh\alpha_{ij} & \cosh\alpha_{ij} \end{matrix}\right),$ если $(i\le m \text{ and } j>m)$ или $(i\le m \text{ and } j>m)$

-- 17.12.2021, 10:55 --

mihiv
Хотелось бы способ,которым все элементы из U(m,n) можно было бы построить.

-- 17.12.2021, 11:08 --

ilghiz

ilghiz в сообщении #1543241 писал(а):

$A^\dagger Q A=Q~ \to ~ QA = AQ,$
помня, что $Q$ содержит $1$ в верхнем подблоке, и $-1$ в нижнем подблоке, $A$ будет блочно диагональная из двух блоков, причем внутри каждого блока Вы можете выбрать произвольную невырожденную квадратную матрицу. Или вы под $A^\dagger$ что-то кроме псевдообратной подразумевали?

Как У вас вышло, что $A$ и $Q$ должны коммутировать?
Например, для U(1,1)
$A=\left(\begin{matrix} \cosh\alpha & \sinh\alpha\\ \sinh\alpha & \cosh\alpha \end{matrix}\right)$
и
$Q=\left(\begin{matrix} 1& 0\\ 0 & -1 \end{matrix}\right)$

-- 17.12.2021, 11:10 --


$\dagger$ это эрмитово сопряжение.

-- 17.12.2021, 11:16 --

xagiwo
Получается, что такого рода матрицы можно задать как

$$A=I-2vQv^\dagger,$$

где $v$ произвольный вектор-столбец (подразумевается тензорное произведение).
надо бы проверить это. И возможность такой формулы "покрывать" все псевдоунитарные матрицы.

-- 17.12.2021, 11:18 --

xagiwo
Спасибо. Да именно так и матрица поворотов у меня зависят, от знаков в сигнатуре.

[TelmanStud]

xagiwo
Вроде тогда

$$A=Q-2v\otimes(v^\dagger Q),$$

Однако, взяв самый произвольный $v$ убеждаюсь, что нет ($A^\dagger Q A\ne Q$)

[zykov]

Есть какая-то причина искать такую $A$ или просто ради любопытства?

[TelmanStud]

zykov
И то и другое.

[xagiwo]

TelmanStud в сообщении #1543262 писал(а):

И возможность такой формулы "покрывать" все псевдоунитарные матрицы.

Этого, наверное, не будет (и не будет даже если там стоят все плюсы)

TelmanStud в сообщении #1543266 писал(а):

Однако, взяв самый произвольный $v$ убеждаюсь, что нет ($A^\dagger Q A\ne Q$)

Так берётся не произвольный, а единичный. Кажется, можно вместо того, чтобы брать единичный, поделить $v \cdot v^{\dagger}Qx$ на $v^\dagger Q v$, но я не уверен