Теорема существования и единственности решения задачи Коши

[Mash_7]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться с теоремой существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть дана задача Коши
$y' = \sqrt{y}, y \geq 0, y(0) = 0. $
Я хочу проверить, выполняются ли для данной задачи условия теоремы существования и единственности решения.
В теореме требуется, чтобы в области $D = \{|x - 0| \leq a, |y - 0| \leq b \}$, где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа, функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных. Для $\sqrt{y}$ это так. Кроме того, нужно, чтобы частная производная функции из правой части по переменной $y$ была непрерывна в этой же области. Так как $\frac{\partial(\sqrt{y})}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$, то при $y = 0$ непрерывности не будет. Значит в любой точке на оси Ox условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи Коши нарушаются. Надеюсь, что это верно.

Рассмотрим ещё одну задачу Коши.
$y' = \sqrt{y}, y \geq 0, y(0) = 1. $
Проверим выполнение теоремы существования и единственности решения для неё.
В теореме требуется, чтобы в области $D = \{|x - 0| \leq a, |y - 1| \leq b \}$, где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа, функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных. Для $\sqrt{y}$ это так. Кроме того, нужно, чтобы частная производная функции из правой части по переменной $y$ была непрерывна в этой же области. Так как $\frac{\partial(\sqrt{y})}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$, то при $y = 1$ производная непрерывна. Значит в окрестности точки $(0,1)$ условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи Коши выполняются. Но разве не может быть такого, что точка $(0,0)$, в которой условие нарушается, тоже попала в область $D$? И тогда именно в области условия существования и единственности решения задачи Коши не будут выполняться? Или здесь мы предполагаем, что в прямоугольник $D$ входят только точки, очень близкие к $(x_0,y_0)$?

[Slav-27]

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Значит в любой точке на оси Ox условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи Коши нарушаются. Надеюсь, что это верно.

Да, и, действительно, решение не единственно: $y(x)\equiv 0$ и $y(x)=\frac14x^2$. (Для существования достаточно непрерывности правой части как функции 2 переменных $x,y$.)

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Или здесь мы предполагаем, что в прямоугольник $D$ входят только точки, очень близкие к $(x_0,y_0)$?

Да, всё локально, о продолжаемости в далёкие точки эта теорема ничего не говорит.

-- 15.12.2021, 01:45 --

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

В теореме требуется, чтобы... функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных.

Кстати, насколько я знаю, не по каждой, а по обеим в совокупности. У меня нет контрпримера, но боюсь, что иначе не получится.

[Mash_7]

Slav-27 в сообщении #1542977 писал(а):

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Значит в любой точке на оси Ox условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи Коши нарушаются. Надеюсь, что это верно.

Да, и, действительно, решение не единственно: $y(x)\equiv 0$ и $y(x)=\frac14x^2$. (Для существования достаточно непрерывности правой части как функции 2 переменных $x,y$.)

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Или здесь мы предполагаем, что в прямоугольник $D$ входят только точки, очень близкие к $(x_0,y_0)$?

Да, всё локально, о продолжаемости в далёкие точки эта теорема ничего не говорит.

То есть действительно можно утверждать, что для второй задачи Коши условия теоремы существования и единственности выполняются?

[Slav-27]

Да.

[Mash_7]

Цитата:

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

В теореме требуется, чтобы... функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных.

Кстати, насколько я знаю, не по каждой, а по обеим в совокупности. У меня нет контрпримера, но боюсь, что иначе не получится.

Да, точно, там по совокупности должно быть.

-- 15.12.2021, 00:51 --

Slav-27 в сообщении #1542980 писал(а):

Да.

Большое спасибо за помощь!

[Padawan]

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Я хочу проверить, выполняются ли для данной задачи условия теоремы существования и единственности решения.
В теореме требуется, чтобы в области $D = \{|x - 0| \leq a, |y - 0| \leq b \}$, где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа, функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных. Для $\sqrt{y}$ это так.

Нет. Функция $\sqrt{y}$ не определена при $y<0$.

[novichok2018]

Мне кажется, эти пограничные случаи хорошо разобраны в учебниках Филиппова.

[Mash_7]

Padawan в сообщении #1542993 писал(а):

Mash_7 в сообщении #1542972 писал(а):

Я хочу проверить, выполняются ли для данной задачи условия теоремы существования и единственности решения.
В теореме требуется, чтобы в области $D = \{|x - 0| \leq a, |y - 0| \leq b \}$, где $a$ и $b$ - некоторые вещественные числа, функция, стоящая в правой части уравнения, была определена и непрерывна по каждой из переменных. Для $\sqrt{y}$ это так.

Нет. Функция $\sqrt{y}$ не определена при $y<0$.

Но в условии же записано, что $y \geq 0$?

-- 15.12.2021, 12:41 --

novichok2018 в сообщении #1542995 писал(а):

Мне кажется, эти пограничные случаи хорошо разобраны в учебниках Филиппова.

У Филиппова вроде один учебник, но очень краткий. И ещё задачник. Или есть ещё?

[novichok2018]

Я имел в виду вот эту пару книг.
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Наука, 1985.
2. Филиппов В.В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. МГУ, 1993.

Может что-то пригодится.
Филипповых несколько, книг в совокупности у всех немало.