Простые при n = k^2 либо n = 2*k^2

[kthxbye]

Имеем последовательность A001359 наименьших простых из пар простых-близнецов. Присвоим ей статус $p(n)$.

Последовательность начинается

$$3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311, 347, 419$$

где $a(1)=3$.

Пусть задана последовательность

$$a(n)=\sum\limits_{d|n}^{}p\left(\frac{n}{d}\right)d$$

Последовательность индексов $n$, таких, что $a(n)$ - простое, начинается так:

$$1, 2, 8, 32, 36, 169, 225, 324, 722, 784, 900, 961, 1058, 1225, 1250, 1568, 1682, 1922, 2025, 2601, 3600, 3844, 5618$$

Что примечательно, для представленных выше чисел $n$ имеет форму $k^2$ либо $2k^2$.

Единственные ли это формы? Если да, то можно ли это как-то доказать?

[nnosipov]

kthxbye в сообщении #1542742 писал(а):

Если да, то можно ли это как-то доказать?

Возможно, $a(n)$ будет просто четным числом для прочих $n$ (из-за того, что делители $d$ можно разбить на пары).

[kthxbye]

nnosipov в сообщении #1542744 писал(а):

kthxbye в сообщении #1542742 писал(а):

Если да, то можно ли это как-то доказать?

Возможно, $a(n)$ будет просто четным числом для прочих $n$ (из-за того, что делители $d$ можно разбить на пары).

Великоплепно! A053866 подтверждает вашу догадку.