Исключительно составные числа

[kthxbye]

Имеем последовательность A047845, заданную как $\frac{n-1}{2}$, where $n$ runs through odd nonprimes, иными словами $\frac{n-1}{2}$, где $n$ пробегает по нечетным составным числам. Присвоим ей статус $a(n)$.

Последовательность начинается

$$0, 4, 7, 10, 12, 13, 16, 17, 19, 22, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 34, 37, 38, 40, 42$$

где $a(1)=0$.

Далее рассмотрим семейство последовательностей

$$b(n,m)=\sum\limits_{k=0}^{2m}(2n+1)^k$$

После ряда экспериментов на pari я предполагаю что $b(n,a(m))$ составное при любых $n,m\in\mathbb{N}$. Чем это можно объяснить?

[nnosipov]

$b(n,m)$ это сумма первых членов геометрической прогрессии. Найдите ее.

[kthxbye]

nnosipov в сообщении #1542647 писал(а):

$b(n,m)$ это сумма первых членов геометрической прогрессии. Найдите ее.

Натурально,

$$\sum\limits_{k=0}^{2m}(2n+1)^k=\frac{(2n+1)^{2m+1}-1}{2n}$$

Как это увязать с тем что числитель раскладывается на множители лишь в определенных случаях?

[lel0lel]

kthxbye в сообщении #1542653 писал(а):

Натурально,

$$\sum\limits_{k=0}^{2m}(2n+1)^k=\frac{(2n+1)^{2m+1}-1}{2n}$$

при $n=m=1$ число простое. Не заметил, что $m$ не произвольное.

Полином $x^{ab}-1$ факторизуется при нечётных $a,b$.

[kthxbye]

Как оказалось, можно обойтись и без суммы геометрической прогрессии. Разберем на примере:

$$n^8 + n^7 + n^6 + n^5 + n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$$

Всего членов у нас 9 (а это нечетное составное число). Элементарно:

$$n^6(n^2 + n + 1) + n^3(n^2 + n + 1) + n^2 + n + 1 = (n^2 + n + 1)(n^6 + n^3 + 1)$$

Аналогично для любого нечетного составного числа $d=pq$, где $p$ наименьший простой множитель имеем

$$n^{d-1} + \cdots + n + 1 = r(n^{p-1} + \cdots + n + 1)$$

[lel0lel]

Вы бы лучше поискали формулу, которая выдаёт только различные простые)