Полупрямое произведение групп

[B@R5uk]

Но ведь фактор-группа всегда определена однозначно (до автоморфизма, во всяком случае)? Тогда подгруппы:

$$N_1=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4\times\mathbb Z_4\times\ldots$$

$$N_2=\{e\}\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4\times\ldots$$

— это две разные подгруппы, поэтому $\mathbb Z_2=G/N_1\ne G/N_2=\mathbb Z_4\times\mathbb Z_2$. То есть мой пример не верен. Для группы

$$G=\mathbb Z_4\times\mathbb Z_4\times\mathbb Z_4\times\ldots$$

надо взять

$$N=\mathbb Z_2\times\{e\}\times\{e\}\times\ldots$$

$$H=\{e\}\times\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4\times\ldots\simeq G/N$$

как вы изначально и предложили.

[mihaild]

Это разные подгруппы, но они изоморфны.
Но да, это я что-то пропустил, нужно чтобы фактор был бесконечным, иначе трюк с одалживанием спереди не пройдет. Так что да, нужен последний выписанный вами пример, который я и имел в виду, но не сумел правильно выписать)

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1541846 писал(а):

нужно чтобы фактор был бесконечным, иначе трюк с одалживанием спереди не пройдет.

Но тогда в утверждении можно потребовать не конечности всей группы, а лишь её фактор-группы по рассматриваемой нормальной подгруппе. Понятно, что ваш контрпример тогда не проходит, но будет ли этого достаточно для разложимости?

[mihaild]

Если $H$ конечна, то проходит ваше предыдущее рассуждение: элементы $H$ принадлежат разным смежным классам (в любом случае, независимо от конечности), а если смежных классов конечно, то в каждом есть по элементу из $H$ из соображений мощности.

Вообще забавно, что если $H$ изоморфна подгруппе $G$, то всё так упрощается. Есть теорема Шура-Зассенхауза: если $G$ конечна, $N$ нормальна в $G$ и порядки $N$ и $G/N$ взаимно просты (соответственно если $G/N$ изоморфна $H$ - подгруппе $G$, то $H$ и $N$ не пересекаются), то $G$ - полупрямое произведение $N$ и $G/N$, но она доказывается довольно сложно.

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1541713 писал(а):

vpb кажется понял. Возьмем

Правильно поняли.

-- 12.12.2021, 03:33 --

EminentVictorians в сообщении #1541713 писал(а):

? Вопрос тот же самый, но добавляется условие $N \cap H = \{e\}$. Будет ли тогда заключение истинно или не будет?

Нет, не будет, как уже объяснили. Есть совсем простой пример: $G={\mathbb Z}$, $N=e$, $H=2{\mathbb Z}$ (т.е. подгруппа четных чисел).

[mihaild]

(Оффтоп)

А я почему-то хотел чтобы $G$ содержала подгруппу, изоморфную $G / H$, поэтому и пришлось непонятно что придумывать

[EminentVictorians]

vpb в сообщении #1542542 писал(а):

Есть совсем простой пример: $G={\mathbb Z}$, $N=e$, $H=2{\mathbb Z}$ (т.е. подгруппа четных чисел).

Он же не проходит. $G/N$ будет изоморфна $G$ и не изоморфна $H$.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1542573 писал(а):

$G/N$ будет изоморфна $G$ и не изоморфна $H$.

$\mathbb Z \simeq 2\mathbb Z$

[EminentVictorians]

mihaild, точно! Это я перегрелся похоже.

[B@R5uk]

vpb в сообщении #1542542 писал(а):

Есть совсем простой пример $G={\mathbb Z}$, $N=e$, $H=2{\mathbb Z}$

Контрпример, конечно, работает, но он как-то не очень: нормальная подгруппа тривиальна. Дальше вы просто играете на том, что группа изоморфна своей подгруппе. Смысл в том, что тривиальную группу $\mathbb Z_1$ нельзя конструктивно использовать для получения новых групп или для их анализа, а ведь именно для этого нужна теория нормальных и фактор-групп. В этом ключе пример mihaild мне куда больше нравится, хоть он и сложнее.