Killer Problem 12

[nnosipov]

Речь идет о задаче 12 из текста http://www.chronomaitre.org/KillerProblems.pdf: решить в вещественных числах систему уравнений $y(x+y)^2=9$ и $y(x^3-y^3)=7$. Мне кажется, что эта задача имеет почти устное решение. Предлагаю его найти.

[zykov]

$x=2, \, y=1$

[nnosipov]

zykov
Это понятно А доказательство того, что других решений нет?

[zykov]

Не сказать, что устно.
Относительно переменной $k=\frac{x+y}{x-y}$ получился многочлен 9 степени с одним корнем $k=3$ и оставшийся многочлен 8 степени знакопостоянен - не имеет действительных корней.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1542024 писал(а):

получился многочлен 9 степени

Нет, это неинтересно. У автора решение в таком же духе.

Вообще, с точки зрения компьютерной алгебры здесь все очевидно. Речь идет о том, чтобы решить эту задачу в рамках школьной математики и при этом избежать громоздких вычислений.

[zykov]

Как найти устно - не знаю. Просто подобрать разве что.
По единственности:

Из первого очевидно $y>0$, тогда из второго очевидно $x>y$.
Из первого $x=-y+\frac{3}{\sqrt{y}}$, убывает в этой области, из неравенства будет $y<(\frac32)^{2/3}$.
Из второго $x^3=y^3+\frac{7}{y}$.

Если $f(y)=y^3+\frac{7}{y}-(-y+\frac{3}{\sqrt{y}})^3$, то $f'(y)={{y}^{2}}-\frac{27 \sqrt{y}}{2}-\frac{7}{{{y}^{2}}}+\frac{81}{2 {{y}^{\frac{5}{2}}}}$.
Можно показать что $f'(y)>0$ при $y>0$.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1542027 писал(а):

Можно показать что $f'(y)>0$ при $y>0$.

Это долго и сложно.

[zykov]

Хм, ну вместо $y$ можно взять $t=\sqrt{y}$.
Тогда $f(t)=t^6+\frac{7}{t^2}-(-t^2+\frac{3}{t})^3$ и $f'(t)=12 t^5-27 t^2-\frac{14}{t^3}+\frac{81}{t^4}$ и школьными методами показать монотонность.
Легко показать, что $-27 t^6 - 14 t + 81 >0$ при $0<t<(\frac32)^{1/3}$.
Это выражение убывает. При $t=(\frac32)^{1/3}$ будет $\frac{81}{4}-14 \cdot (\frac32)^{1/3} > 20 - 14 \cdot \frac54=\frac52>0$.

[TelmanStud]

Замена

$$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$

приводит

$$(u-2v)(7u^2-8uv+4v^2)=0,\, (u-2v)(9u^2-10uv+5v^2)=0$$

Квадратные уравнения не имеют решений в действительных числах(хоть имели бы все равно корни разные) , потому $u=2v$ и окончательно $x=2,\, y=1$

[nnosipov]

zykov в сообщении #1542032 писал(а):

Хм, ну вместо $y$ можно взять $t=\sqrt{y}$.

Ну, это-то само собой. Но все равно дальше как-то не особо эстетично. Впрочем, как вариант школьного решения пойдет.

Но есть вариант покороче.

-- Ср дек 08, 2021 15:07:44 --

TelmanStud в сообщении #1542036 писал(а):

Замена

$$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$

Несколько искусственно. Как догадаться до такой замены? И потом, уравнения в новых неизвестных написаны в уже факторизованном виде, но до такого вида надо еще добраться.

Но в любом случае это, конечно, быстрее, чем у автора текста. Пусть будет как вариант номер 2.

[TelmanStud]

nnosipov в сообщении #1542037 писал(а):

Как догадаться до такой замены? И потом, уравнения в новых неизвестных написаны в уже факторизованном виде, но до такого вида надо еще добраться.

Левая часть однородна по переменным, так что попытаться стоило, хотя без уверенности, что разложение получится. Согласен, решение получено методом проб и ошибок.

[upgrade]

$y(x+y)^2=9$ и $y(x^3-y^3)=7$
$y=\frac{9}{(x+y)^2}$
$y=\frac{7}{(x^3-y^3)}$
$\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{7}{x^3-y^3}$
$x+y=3$
$x^3-y^3=7$

[nnosipov]

upgrade
И как Вы вывели, что, например, $x+y=3$?

-- Ср дек 08, 2021 15:51:23 --

TelmanStud в сообщении #1542039 писал(а):

Левая часть однородна по переменным

Кстати, а ничего, что там разные степени однородности? Как-то странно, что в переменных $u$ и $v$ оба уравнения оказались кубическими.

[upgrade]

nnosipov
$\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{7}{x^3-y^3}$
$\frac{x^3-y^3}{(x+y)^2}=\frac{7}{9}$
дроби равны когда равны их числители и знаменатели (там, конечно $+3, -3$)

[nnosipov]

upgrade в сообщении #1542043 писал(а):

дроби равны когда равны их числители и знаменатели

Вот за такое моих студентов (и школьников) ожидали бы страшные кары дополнительные порции задач.

-- Ср дек 08, 2021 15:55:24 --

upgrade в сообщении #1542043 писал(а):

там, конечно $+3, -3$

Не поможет.