Медленно меняющаяся на бесконечности функция, предел

[Dina98]

По определению, $f(t)$ - медленно меняющаяся на бесконечности функция, если $\lim_{t \to \infty} \frac{f(rt)}{f(t)} = 1$, $\forall r>0$.

Правда ли, что если L(t) - медленно меняющаяся на бесконечности функция, и $f(t) = L(t)e^{-g(t)}$, где $g(t)$ мажорирует любую линейную функцию, то

$$\lim_{t \to \infty} \frac{f(t+\Delta t)}{f(t)} = 0, \forall \Delta t>0? (*)$$

Как это показать формально?

Я доказала, для $f(t) = P(T >t)$, где $T \sim Normal(\mu, \sigma^2)$, но хочу найти более широкий класс распределений, для которых (*) верно.

[mihaild]

Непохоже на правду. То, что $g$ мажорирует линейную функцию не помешает ей даже убывать на некоторых отрезках длины $\Delta t$.

[Dina98]

Наверное, я использовала неправильный термин. Имелось ввиду, что $e^{-g(t)}$ убывает быстрее, чем $e^{-\lambda t}$, $\lambda >0$. Как сказать правильно?

[Otta]

О малые использовать не хотите?

[mihaild]

Dina98 в сообщении #1541188 писал(а):

Имелось ввиду, что $e^{-g(t)}$ убывает быстрее, чем $e^{-\lambda t}$, $\lambda >0$. Как сказать правильно?

Смотря что вы хотите сказать.
Никакие асимптотические предположения тут не помогут: возьмите $g(t) = \left(10^{\lceil t \rceil !}\right)! - \{t\}\cdot t$.

[iifat]

mihaild в сообщении #1541202 писал(а):

Смотря что вы хотите сказать

Не поясните? Я так понимаю, $\lim\nolimits{t\to\infty}\frac gt=0$, это означают слова «функция, растущая быстрее линейной», не? Стало быть, медленнорастущую умножаем на достаточно быстроубывающую, хоть, может, и не монотонно.
Скорее, имхо, необходимо потребовать равномерности предела по $r$ в определении медленного роста.

[mihaild]

iifat в сообщении #1541243 писал(а):

Я так понимаю, $\lim\nolimits{t\to\infty}\frac gt=0$, это означают слова «функция, растущая быстрее линейной», не?

Я тоже так понимаю (только либо дробь перевернуть, либо предел должен быть бесконечным). И это не помешает нашему произведению локально сильно обваливаться, а мы дальше смотрим на разницу в значениях в точках на фиксированном расстоянии. Возьмите $g$ указанную выше, $\Delta t = \frac{1}{2}$, а $f$ вообще константой - и предел существовать не будет.

[Padawan]

Если верить теореме Караматы https://en.wikipedia.org/wiki/Slowly_varying_function#Karamata_representation_theorem, то для медленно меняющейся функции $L(x)$ также выполнено $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{L(x+\Delta x)}{L(x)}=0$ для всех $\Delta x>0$.

[Dina98]

Меня интересует возможно ли описать как-то класс функций, для которых данный предел равен нулю при любых $\Delta t >0$. Я рассматриваю протности распределений и вижу, что для экспоненциального это не работает, а вот для нормального работает, т.е. и для всех с меньшим коэффиентом эксцесса будет работать. Как можно пошире описать класс распределений, для которых (*) верно?