Фихтенгольц, 1т., стр. 120, задача 4)

[Vladimir Pliassov]

У Фихтенгольца в https://studfile.net/preview/4422204/page:13/ стр. 120, внизу, задача 4), стоит:

Цитата:

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n}=+\infty$$

[32, 9)]; очевидно, одновременно будет и

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n+1}=+\infty.$$

Почему сказано, что это очевидно?

Лично для меня это не очевидно, более того, я пытаюсь это доказать, но у меня не получается. Я начинаю с окончания доказательства первого предела.

В https://studfile.net/preview/4422204/page:8/ стр. 66 приходим к тому , что

$$a^n>\frac {(a-1)^2}{4}n^2. \eqno {(3)}$$

Разделим обе части неравенства на $n$, получим

$$\frac {a^n}{n}>\frac {(a-1)^2}{4}n.\eqno {(4)}$$

откуда

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a^n}{n}=+\infty$$

(поскольку при $n\to+\infty,$ правая часть неравенства (4) стремится к плюс бесконечности, а левая часть больше правой).

Если же мы разделим обе части неравенства (3) не на $n$, а на $n+1$, то получим

$$\frac {a^n}{n+1}>\frac {(a-1)^2}{4}\cdot \frac {n^2}{n+1}=\frac {(a-1)^2}{4}\cdot n\cdot \frac {n}{n+1}. $$

уже известно, что

$$\frac {(a-1)^2}{4}\cdot n\to +\infty, $$

а то, что

$$\frac {n}{n+1}\to 1, $$

надо доказать. План такой: сначала доказать, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая, тогда, поскольку она ограничена сверху (числом $1$), можно будет заключить, что она имеет предел, и попытаться его найти.

То, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая, пытаюсь доказать по индукции.

При $n=1$ имеем

$$\frac {1}{1+1}=\frac {1}{2}<\frac {1+1}{(1+1)+1}=\frac {2}{3}.$$

Предположим, что при $n=k$

$$\frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2},$$

надо доказать, что, исходя из этого, будет

$$\frac{k+1}{k+2}<\frac{k+2}{k+3}.$$

Не могу найти, как это сделать.

[Pphantom]

Перепишите

$$\frac{a^n}{n+1}=\frac{1}{a} \cdot \frac{a^{n+1}}{n+1}$$

и сделайте замену $m=n+1$.

[Vladimir Pliassov]

Pphantom в сообщении #1541436 писал(а):

Перепишите

$$\frac{a^n}{n+1}=\frac{1}{a} \cdot \frac{a^{n+1}}{n+1}$$

и сделайте замену $m=n+1$.

$$\lim_{m\to +\infty}\frac{1}{a}\cdot \frac{a^m}{m}=+\infty.$$

Спасибо!

А все-таки, как доказать методом индукции или как-то по-другому, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая?

[Lia]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541441 писал(а):

что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая?

По определению. Пока это не очевидно. А зачем?

[Vladimir Pliassov]

Lia в сообщении #1541445 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1541441 писал(а):

что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая?

По определению.

Цитата:

Последовательность $\{x_n\}$ элементов множества $X$ называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. (Википедия)

Но ведь то, что каждый следующий элемент последовательности превышает предыдущий, каждый раз надо доказывать (кроме случая $x_n=n$)?

Lia в сообщении #1541445 писал(а):

А зачем?

Это само по себе интересно. И кроме того, хочу попробовать доказать утверждение Фихтенгольца по своему плану, хотя он не самый экономный.

[Dan B-Yallay]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541446 писал(а):

Но ведь то, что каждый следующий элемент последовательности превышает предыдущий, каждый раз надо доказывать (кроме случая $x_n=n$)?

Возьмите разницу между двумя последовательными элементами и оцените знак этой разницы.

[Vladimir Pliassov]

Dan B-Yallay в сообщении #1541447 писал(а):

Возьмите разницу между двумя последовательными элементами и оцените знак этой разницы.

$$\frac {n+1}{n+2}-\frac {n}{n+1}=\frac {(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac {1}{(n+1)(n+2)}.$$

Знак положительный, значит, последовательность возрастающая либо неубывающая -- при неубывающей последовательности, очевидно, разница между некоторыми соседними членами нулевая, а между некоторыми положительная.

Спасибо! Как я понимаю, это универсальный способ, то есть годится для всех последовательностей.

А можно ли доказать, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая, методом индукции, как я попытался?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541435 писал(а):

Предположим, что при $n=k$

$$\frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2},$$

надо доказать, что, исходя из этого, будет

$$\frac{k+1}{k+2}<\frac{k+2}{k+3}.$$

Не могу найти, как это сделать.

Если оба неравенства заменить эквивалентными, то получится, что нужно доказать следующее: из неравенства $0<1$ следует неравенство $0<1$. Что, конечно, верно. Но по сути здесь мы доказали исходное утверждение о возрастании непосредственно, без всякой индукции (когда заменяли, например, неравенство

$$\frac{k}{k+1}<\frac{k+1}{k+2}$$

на эквивалентное ему $0<1$). Короче, метод индукции здесь излишен.

[TOTAL]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541449 писал(а):

А можно ли доказать, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая, методом индукции, как я попытался?

$\frac {n}{n+1}=1-\frac {1}{n+1}$
Теперь осталось доказать, что $\frac {1}{n+1}$ убывает.

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1541453 писал(а):

Но по сути здесь мы доказали исходное утверждение о возрастании непосредственно, без всякой индукции ... Короче, метод индукции здесь излишен.

Цитата:

Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом. (Википедия)

Из этого определения уже следует, что $n<n+1$. Однако это же утверждение можно доказать также и по индукции.

При $n=1$ имеем $1<2.$

Пусть $n=k$ и $k<k+1,$ докажем, что отсюда следует, что при $n=k+1$ имеем $n<n+1,$ то есть что $k+1<k+2.$ В самом деле, прибавим единицу к обеим частям неравенства $k<k+1$, получим $k+1<k+2$, ч. т. д..

То есть метод индукции здесь излишен, в том смысле, что и без него можно обойтись, но и методом индукции утверждение тоже можно доказать (хотя бы для того, чтобы решить еще одну задачу).

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541485 писал(а):

$1<2.$

Обоснуйте.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1541502 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1541485 писал(а):

$1<2.$

Обоснуйте.

$1<2$ по определению натурального ряда: предыдущее число меньше последующего. Я понимаю, что из этого определения уже следует, что $n<n+1$, так что другие доказательства не нужны (если цель состоит только в том, чтобы как-то доказать), но можно применить это определение только к базе индукции, а затем доказывать, не принимая во внимание определение.

Правда, при этом, может быть, будут еще ссылки на определение, которых я сейчас не замечаю.

[eugensk]

Vladimir Pliassov
Натуральные числа с отношениями/операциями можно вводить по-разному, от этого будет зависеть доказательство того что 1<2 (зависит от того, что такое 1, что такое 2, и что такое <) . Вообще, если примете для себя, что можете пользоваться очевидными свойствами рациональных чисел, сможете двигаться дальше по Фихтенгольцу (о чем он и говорит в самом начале), если нет, ну тогда разбирайте какой-нибудь курс по числовым системам, С. Фефермана или Э. Ландау, например, но это будет сложнее.

[Vladimir Pliassov]

TOTAL в сообщении #1541456 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1541449 писал(а):

А можно ли доказать, что последовательность $\frac {n}{n+1}$ -- возрастающая, методом индукции, как я попытался?

$\frac {n}{n+1}=1-\frac {1}{n+1}$
Теперь осталось доказать, что $\frac {1}{n+1}$ убывает.

То есть если $\frac {1}{n+1}$ убывает, то $\frac {n}{n+1}$ возрастает, понятно, спасибо!

А еще можно так:

$$\frac {n}{n+1}=1-\frac {1}{n+1}<1-\frac {1}{n+2}=\frac {n+1}{n+2}.$$

Но когда я все же пытаюсь доказать по индукции, что

$$1-\frac {1}{k+2}<1-\frac {1}{k+3}\eqno {(6)}$$

по гипотезе

$$1-\frac {1}{k+1}<1-\frac {1}{k+2},\eqno {(5)}$$

то вижу, что неравенство (6) доказывается само по себе, а как это сделать по гипотезе (5), не вижу.

Зачем я пытаюсь? Чтобы посмотреть по возможности, где можно доказывать по индукции, а где нет.

eugensk в сообщении #1541509 писал(а):

Натуральные числа с отношениями/операциями можно вводить по-разному, от этого будет зависеть доказательство того что 1<2 (зависит от того, что такое 1, что такое 2 b что такое <) . Вообще, если примете для себя, что можете пользоваться известными свойствами рациональных чисел, сможете двигаться дальше по Фихтенгольцу, если нет, ну тогда разбирайте какой-нибудь курс по числовым системам, С. Фефермана или Э. Ландау, например, но это будет сложнее.

Мое основное направление сейчас это Фихтенгольц. Попутно возникают вопросы, но я стараюсь не слишком отвлекаться от курса. (Однако за Фефермана и Ландау спасибо!)

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1541513 писал(а):

Чтобы посмотреть по возможности, где можно доказывать по индукции, а где нет.

Так на таких банальных примерах Вы ничего существенного про метод индукции не узнаете.