Дифференциальное уравнение истечения жидкости

[Kubrikov]

Уважаемые форумчане! Разбираю задачу о составлении дифференциального уравнения вытекания воды из сосуда (из учебника Степанова).

Идея, в принципе, ясна. Представим банку с водой как управляемую систему. Управляющим параметром является время (ожидание), ибо интересует зависимость от времени.

"Пошевелим" систему с помощью управляющего параметра - подождем короткое время и посмотрим, какие изменения произойдут в системе.

Сверху объем изменится на$ \triangle V$, уровень воды при этом понизится на $\triangle h$.

Снизу выйдет столб воды такого же объема \triangle V. С постоянной скоростью.

Не понимаю вот чего. На малом участке процесс линеаризуется - допускается, что вода вытекает равномерно. Уровень тоже опускается равномерно.

Расход при этом допускается постоянным, скорость истечения постоянна ($0.6\sqrt{2gh}$). Но скорость зависит от уровня. А уровень у нас как раз на участке меняется.

Какой берется скорость истечения? По максимальному уровню, по минимальному, или по какому-то среднему?

https://disk.yandex.ru/i/JmMPq75csxSCPQ

[iifat]

Ничего не допускается. Просто отбрасываются значения некоторого высокого порядка малости, тщательно следя за тем, чтобы он таким и оставался (к примеру, если есть величины $x=t+t^2$ и $y=t+2t^2$, то можно, видимо, отбросить квадраты; однако, если где-нить фигурирует $x-y$, то это означает, что квадраты отбросить нельзя и придётся их учитывать; в реальности всё ещё сложнее).

Kubrikov в сообщении #1540718 писал(а):

Какой берется скорость истечения? По максимальному уровню, по минимальному, или по какому-то среднему?

К вашему вопросу: значения скорости в перечисленных вами вариантах различаются на величину высшего порядка малости, который мы как раз отбрасываем. Так что можете брать по любому варианту. Обычно берут тот, что проще.

[svv]

Kubrikov в сообщении #1540718 писал(а):

Не понимаю вот чего. На малом участке процесс линеаризуется - допускается, что вода вытекает равномерно. Уровень тоже опускается равномерно.

Расход при этом допускается постоянным, скорость истечения постоянна ($0.6\sqrt{2gh}$). Но скорость зависит от уровня. А уровень у нас как раз на участке меняется.

Вот другой вывод.

$V_{\text{с}}$ — объём воды в сосуде
$S_{\text{с}}(h)$ — площадь сечения сосуда на высоте $h$ от отверстия (известная функция)
$h_{\text{с}}$ — высота воды в сосуде

$V_{\text{т}}$ — объём воды в цилиндрической трубке
$S_{\text{т}}$ — площадь сечения трубки
$h_{\text{т}}$ — высота столбика воды в трубке (положительная)
$v_{\text{т}}$ — скорость воды в трубке

$\begin{array}{l}V_{\text{с}}(h_{\text{с}})=\int\limits_{h=0}^{h_{\text{с}}} S_{\text{с}}(h)\;dh \\V_{\text{т}}(h_{\text{т}})=S_{\text{т}}h_{\text{т}}\end{array}$

Найдём производные объёмов по времени (формула производной сложной функции).
$\begin{array}{ll}\dfrac{dV_{\text{с}}}{dh_{\text{с}}}=S_{\text{с}}(h_{\text{с}});&\dfrac{dV_{\text{с}}}{dt}=\dfrac{dV_{\text{с}}}{dh_{\text{с}}} \dfrac{dh_{\text{с}}}{dt}=S_{\text{с}}\dfrac{dh_{\text{с}}}{dt}\\[2ex]\dfrac{dV_{\text{т}}}{dh_{\text{т}}}=S_{\text{т}};&\dfrac{dV_{\text{т}}}{dt}=\dfrac{dV_{\text{т}}}{dh_{\text{т}}} \dfrac{dh_{\text{т}}}{dt}=S_{\text{т}}v_{\text{т}}\end{array}$

Полный объём воды $V=V_{\text{с}}+V_{\text{т}}$ — постоянная величина, поэтому
$\dfrac{dV}{dt}=S_{\text{с}}\dfrac{dh_{\text{с}}}{dt}+S_{\text{т}}v_{\text{т}}=0$
Переменные $S_{\text{с}}$ и $v_{\text{т}}$ надо выразить через $h_{\text{с}}$ (зависимости известны). И найти $h_{\text{с}}(t)$, решив полученное ДУ с известным начальным условием.

[Kubrikov]

Спасибо огромное! Можно еще вопрос )))

Получилось уравнение ${\text{d}t}=f\left(h\right){\text{d}h}$, решаемое методом разделения переменных. Как это можно представить графически?

Уравнение описывает состояние системы на малом участке. При интегрировании малые участки собираются в единую кривую.

Я так понимаю, интеграл от $\text{d}t$ - это график времени. Там перед $\text{d}t$ ничего нет, значит просто единица. Интеграл - прямая линия, показывает равномерное возрастание времени.

Интеграл справа - график изменения уровня. Он - неравномерный.

Смотрим налево - видим, какое нас интересует время. Смотрим направо - получаем нужный уровень.

[svv]

Kubrikov в сообщении #1540858 писал(а):

Как это можно представить графически?

Я бы рассказал. А Вы здесь, или снова только через год появитесь?

Kubrikov в сообщении #1540858 писал(а):

Уравнение описывает состояние системы на малом участке. При интегрировании малые участки собираются в единую кривую.

В моём предыдущем сообщении я очень постарался не говорить о малых участках, малых изменениях и так далее.

[Kubrikov]

Конечно расскажите ))))))))))))))

[svv]

В уравнение $t$ не входит явно ($dt$ не в счёт). Это приводит к тому, что все решения $h(t)$ отличаются друг от друга сдвигом по времени. (Точнее, есть ещё особое решение $h\equiv 0$, когда воды в сосуде нет и никогда не было, но я о нём не буду говорить.) Различные решения получаются при различных начальных условиях. Мне захотелось найти самое естественное, в каком-то смысле, начальное условие. Для этого я «обратил время вспять»: снимем процесс вытекания воды на камеру, а потом прокрутим фильм в обратном направлении. Тогда вода будет втекать снизу, причём тоже неравномерно. Обращению времени соответствует замена в уравнении $t$ на $-t$, и мы получим уравнение $dt=f(h)\,dh$, где $f(h)=\frac{\pi}{0.9\sqrt{2g}}h^{3/2}$, уже без того минуса, что в книге.

Естественно считать, что вода начинает втекать в нулевой момент, то есть при $t=0$ будет $h=0$, а при $t>0$ будет $h>0$. Конечно, «втекание» будет продолжаться неограниченно, поэтому и сосуд (коническую воронку) продолжим вверх до бесконечности. Изучив один этот процесс обратного втекания, мы тем самым решим и задачу в исходной постановке, причём при любых начальных условиях.

Итак, втекаем снизу. Запишем определённый интеграл (не беспокойтесь, интегрировать не будем)
$t=\int\limits_{0}^{h}f(x)\,dx$
Уже учтено начальное условие: при $t=0$ и интеграл нулевой. Тут верхний предел $h$ — уровень воды в сосуде, а $x$ — переменная интегрирования, пробегающая значения от $0$ до $h$ (верхний предел и переменную интегрирования нехорошо обозначать одинаково).

Кривая $f(h)=Ch^{3/2}$ выглядит примерно так (левая картинка):

Как объясняется без слов в этом мультике К.Кубрикова, определённый интеграл — это площадь фигуры под кривой (голубая область). И, согласно равенству выше с интегралом, для уровня $h$ эта площадь равна $t$ — моменту времени, когда такой уровень будет достигнут.

А теперь ещё одна трансформация. Повернём график, как на картинке справа, и представим, что у нас сосуд такой формы. Пусть сверху течёт поток воды так, что в момент $t$ количество воды равно $t$. То есть вода сверху течёт равномерно, но уровень $h$, естественно, будет меняться неравномерно. И при таком наполнении зависимость $h(t)$ будет правильной! В любой момент $t$ количество воды равно площади $\int\limits_{0}^{h}f(x)\,dx$ голубой фигуры, ограниченной стенками сосуда и текущим уровнем воды.

Итак, мы моделируем процесс неравномерного вытекания воды из конической воронки (или неравномерного втекания, при обратном просмотре) другим процессом — наполнения водой сосуда странной формы, но только уже при равномерном потоке воды сверху.
То, что тут количество воды равно площади, а в реальности сосуды объёмные, не проблема, этот сосуд легко превратить в трёхмерный с сохранением свойств.

[svv]

radikal, гад, съел картинку, пришлось заново рисовать.