Понятие марковской цепи

[eugenepriymak]

Всем добрый вечер!

Уже не первый день думаю над определением марковской цепи, приведённом в Клейнроке (1979 год, стр. 44):

Цитата:

Последовательность случайных величин образует дискретную цепь Маркова, если для всех $n$ ($n = 1, 2, \ldots$) и всех возможных значений случайных величин выполняется равенство

$P[ X_n = j | X_1 = i_1, X_2 = i_2, \ldots, X_{n-1} = i_{n-1} ] = P[ X_n = j | X_{n-1} = i_{n-1} ]$

Сразу за определением приводится следующая фраза:

Цитата:

Это условие для нашего примера просто означает, что вероятность попадания путешественника в следующий город зависит только от того, в каком городе он находится в настоящее время, и не зависит от того, какие города он уже посетил. В этом смысле память (последействие) случайного процесса или цепи Маркова распространяется назад только на непосредственно предшествующее положение.

Меня эта фраза немного запутала: разве слова

Цитата:

вероятность попадания путешественника в следующий город зависит только от того, в каком городе он находится в настоящее время, и не зависит от того, какие города он уже посетил

не означают следующее?

\forall \; I \subset \overline{1; n-2} выполнено P[ X_n = j | X_{n-1} = i_{n-1}, \; \forall \; k \in I \; X_i = i_k] = P[ X_n = j | X_{n-1} = i_{n-1} ]

(То есть верно не только данное Клейнроком равенство

$P[ X_n = j | X_1 = i_1, X_2 = i_2, \ldots, X_{n-1} = i_{n-1} ] = P[ X_n = j | X_{n-1} = i_{n-1} ]$

но и, в частности, равенство

$P[ X_n = j | X_5 = i_5, \; X_{n-1} = i_{n-1} ] = P[ X_n = j | X_{n-1} = i_{n-1} ]$

содержащее в условии не все предшествующие шаги.)

Пока не исключаю также вариант, что условие, данное Клейнроком, и то условие, которое привёл я, равносильны. В обратную сторону очевидно: из приведённого мною следует приведённое Клейнроком, поскольку равенство верно в том числе для случая $I = \overline{1; n-2}$. Но вот в прямую сторону не уверен, пока не смог ни доказать, ни опровергнуть.

[Someone]

eugenepriymak в сообщении #1540928 писал(а):

Пока не исключаю также вариант, что условие, данное Клейнроком, и то условие, которое привёл я, равносильны.

Примените формулу полной вероятности.

[zykov]

eugenepriymak в сообщении #1540928 писал(а):

но и, в частности, равенство

Его можно получить из первого усредняя по $X_1 .. X_4$.