Приведение ДУЧП к каноническому виду

[Dedekind]

Имеется уравнение:

$$x^2u_{xx}-2u_{xy}+u_{yy}=0$$

Нужно привести к канонической форме в области гиперболичности.

Решение. Дискриминант характеристического уравнения:

$$a_{12}^2-a_{11}a_{22}=(-1)^2-x^2\cdot 1=1-x^2>0$$

при $x\in(-1,1), y\in \mathbb{R}$, что и дает область гиперболичности.
Тогда характеристическое уравнение распадается на два:

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-x^2}}{x^2}$$

Решая эти уравнения, находим общие интегралы:

$$C_1=y - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} + \arcsin x$$

$$C_2=y - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} - \arcsin x$$

Делая замены $\xi=C_1, \eta=C_2$ и выражая старые производные через новые, получаем каноническую форму:

$$u_{\xi\eta}=-\dfrac{x \left(-x^2+2 \sqrt{1-x^2}+2\right)}{2\left(1-x^2\right)^{3/2}}u_\xi -\dfrac{x \left(x^2+2 \sqrt{1-x^2}-2\right)}{2\left(1-x^2\right)^{3/2}}u_\eta$$

Выкладки я пропускаю, потому что они оказались слишком громоздкими (что весьма странно для учебной задачи, ну да ладно) и пришлось их делать в Wolfram Mathematica. Но если вдруг понадобится, могу выложить код.

Вопросы. 1. Как тут перейти от $x$ к $\xi$ и $\eta$ в правой части (и возможно ли вообще это)?

2. Правильно ли я понимаю, что тут еще нужно отдельно рассмотреть случай $x=0$, когда исходное уравнение все еще гиперболическое, но характеристические уравнения другие:

$$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{-1\pm1}{1} \Rightarrow \dfrac{dx}{dy}=0 \lor \dfrac{dx}{dy}=-2$$

и, соответственно, замены будут другими? Или это случай уже включен в

$$u_{\xi\eta}=-\dfrac{x \left(-x^2+2 \sqrt{1-x^2}+2\right)}{2\left(1-x^2\right)^{3/2}}u_\xi -\dfrac{x \left(x^2+2 \sqrt{1-x^2}-2\right)}{2\left(1-x^2\right)^{3/2}}u_\eta$$

поскольку коэффициенты в правой части не имеют особенностей при $x=0$?

[пианист]

Dedekind в сообщении #1540715 писал(а):

Как тут перейти от $x$ к $\xi$ и $\eta$ в правой части (и возможно ли вообще это)?

Да, $x, y$ через $\xi , \eta$ задаются соотношениями (надеюсь, Вы не накосячили в выкладках)
$\xi = y - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} + \arcsin x$,
$\eta = y - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} - \arcsin x$.
Шансы привести эти функции к чему-то привычному представляются не очень большими.

Dedekind в сообщении #1540715 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что тут еще нужно отдельно рассмотреть случай $x=0$

Чтобы случай $x = 0$ не "отклеивался", поменяйте местами $x$ и $y$.

(Оффтоп)

Фаина Раневская писал(а):

Лесбиянство, гомосексуализм, мазохизм, садизм - это не извращения. Извращений, собственно, только два: хоккей на траве и балет на льду.

[Dedekind]

пианист
Понял, спасибо. Если можно тогда еще один смежный вопрос. Да, в этом уравнении можно поменять местами $x$ и $y$ и тогда случай $x=0$ не отклеится, поскольку $a_{22}=1\ne0$. Но вот, например, в таком уравнении:

$$xu_{xx}+u_{xy}+yu_{yy}=0$$

область гиперболичности будет $y<1/x$ для $x>0$ и $y>1/x$ для $x<0$, то есть будет включать обе координатные оси. Тогда нужно рассматривать два случая: $\dfrac{dy}{dx}$ когда $x\ne0$ и $\dfrac{dx}{dy}$ когда $y\ne0$? И уравнение, скажем, везде кроме прямой $x=0$ будет иметь один канонический вид, а на прямой $x=0$ другой, несводимый к первому?

P.S. Не совсем понял, к чему была цитата из оффтопа:)
P.P.S. Попробовал для уравнения из стартового поста заменить $x$ на $y$. Получилось так:

$$\dfrac{dx}{dy}=-1\pm\sqrt{1-x^2}$$

Вроде хорошо, теперь нет $x$ в знаменателе. Но при интегрировании по частям получаются ровно такие же выражения:

$$C_1=y - \dfrac{1}{x} + \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} + \arcsin x$$

$$C_2=y - \dfrac{1}{x} - \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} - \arcsin x$$

где снова стоит $x$ в знаменателе. Что я делаю не так?:)

[пианист]

Да, пожалуй, я был неправ, избавиться от особенности при $x = 0$ не получится.

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1540771 писал(а):

Не совсем понял, к чему была цитата из оффтопа:)

Не обращайте внимания. Я просто не понимаю, зачем нужны эти манипуляции с уравнением.

[Dedekind]

пианист
Хорошо, спасибо. Видимо, тут какая-то опечатка в задании.

Какие именно манипуляции? Приведение к каноническому виду вообще, или попытка учесть $x=0$ в частности? Вообще это учебное задание (очевидно, не из самых лучших), которое так и звучит: приведите уравнение к каноническому виду. А случай $x=0$ я пытался рассмотреть, потому что было ощущение неправильности от деления на величину, которая может быть нулем.

[пианист]

Dedekind в сообщении #1540829 писал(а):

Видимо, тут какая-то опечатка в задании.

Да нет, просто одним махом все накрыть не удастся, так что действуйте, как и собирались - рассматривайте случай $x = 0$ отдельно.

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1540829 писал(а):

Какие именно манипуляции? Приведение к каноническому виду вообще, или попытка учесть $x=0$ в частности?

Как раз то, что случай $x = 0$ устранить с ходу не получается, интересно. Разобраться в механизме было бы любопытно.
Приведение к канонической форме... не понимаю, в чем смысл. Если только попрактиковаться в заменах переменных.
Хотя, конечно, оно всегда традиционно входит в учебные пособия и программы по урматам.

[Dedekind]

пианист
Ну да, так получается $u_{\xi\eta}=0$ при $\xi=x$ и $\eta=x+2y$. Но тогда возникает вопрос как решать такое уравнение. Если область, на котором задано уравнение неограниченна, то все стандартно:

$$u(\xi,\eta)=f(\xi)+g(\eta)$$

где $f,g$ - произвольные функции. Но мы знаем что у нас заведомо $\xi=x=0$. И это условие подставляется уже на последнем этапе, в функцию $f(\xi)$? То есть, решение будет:

$$u(\xi,\eta)=g(\eta) + f(0)$$

Или то, что у нас одна координата заведомо неизменна как-то меняет изначальное уравнение $u_{\xi\eta}=0$?

Насколько я понимаю, приведение к каноническому виду нужно потому, что для него разработаны аналитические методы решения. У того-же Тихонова-Самарского все последующее (после 1-й главы) изложение методов решений идет в предположении, что уравнение уже сведено к канонической форме.
Но как оно в реальных задачах происходит, я не знаю. Если Вы использовали ДУЧП в своей работе, расскажите, пожалуйста, насколько часто там встречается необходимость привести к канонической форме?

[пианист]

Похоже, я Вас только запутал ;(
Да нет, имелось в виду изучить поведение при $x =0$. Но, похоже, это лишнее. Ну, улетят "канонические" переменные на этой прямой в бесконечность, и что? Никто же этого не запрещает. А так, замену и новый вид Вы выписали.

По поводу канонизации длинная история. Если Вам это интересно, изложу свои соображения, но, наверное, в отдельной теме, дабы не офтопить.

[Dedekind]

пианист
Да, было бы интересно. Могу создать отдельную тему, если хотите. Но и в этой все равно кроме нас никого нет, так что не думаю, что кто-то будет сильно против оффтопа:)

[пианист]

Dedekind в сообщении #1540857 писал(а):

Но и в этой все равно кроме нас никого нет, так что не думаю, что кто-то будет сильно против оффтопа:)

Это не важно, на форуме обсуждения с невнятной тематикой не приветствуются. Так что я изложил в topic148066.html


По топику, видимо, больше добавить нечего, если только порекомендовать замену проделать вручную. Понимаю, что тоскливо, но этот опыт не будет лишним.