Оператор Лапласа

[MChagall]

$\gamma_1(t),...,\gamma_n(t)$ - геодезические на многообразии $M$ размерности $n$, $\gamma_i(0)=p,\gamma_i'(0)=e_i$, где $e_1,...,e_n$ - о/н базис в окрестности $p$.
Вычисляю $\Delta f(p)$ двумя способами.
1) $\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{d^2}{dt^2}f(\gamma_i(t)) \left\lvert _{t=0}$
$\frac{d}{dt}f(\gamma_i(t))=\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma_i(t))\gamma_i'(t)$
$\frac{d}{dt}(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma_i(t))\gamma_i'(t))\left\lvert _{t=0}=\frac{d}{dt}\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma_i(t))\gamma_i'(t)+\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma_i(t))\gamma_i''(t)\left\lvert _{t=0}$

2) $div(grad(f))(p)=<e_i,\nabla_{e_i}grad(f)(p)>$
$\nabla_{e_i}grad(f)(p)=\sum\limits_{j}^{}\nabla_{e_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)e_j$
$\nabla_{e_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)e_j=e_j\nabla_{e_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)+\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\nabla_{e_i}e_j$
$\nabla_{e_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)=\frac{d}{dt}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\gamma_i(t))\left\lvert _{t=0}$
$\nabla_{e_i}e_j=\nabla_{\gamma_i'(t)}e_j\left\lvert _{t=0}=\frac{d}{dt}\gamma_j'(t)\left\lvert _{t=0}=\gamma_i''(t)\left\lvert _{t=0}$

При подстановке в $<,>$ выживают только $i$-е слагаемые. Но не сходятся 1) и 2).
Может кто подсказать в какой строчке я ошибаюсь (детская, видимо, ошибка)?
Смущает, что не использовал геодезические. Возможно, надо $\gamma_i''(t)$ через символы Кристоффеля записать?

[svv]

По первому способу.

MChagall в сообщении #1540434 писал(а):

Смущает, что не использовал геодезические.

$\frac{d^2 f}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{dx^j}{dt}\right)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}+\frac{\partial f}{\partial x^k}\frac{d^2 x^k}{dt^2}$
Это с учётом уравнения геодезической $\frac{d^2 x^k}{dt^2}+\Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}=0$ даёт
$\frac{d^2 f}{dt^2}=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma^k_{ij}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right)\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}$
Сравните с формулой для лапласиана отсюда:
$\Delta f=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma^k_{ij}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right)g^{ij},$
и будет ясно, что делать дальше.


По второму способу.
В точке $p$ базис ортонормированный, но в других точках окрестности $p$ необязательно. Поэтому следует различать векторы $\mathbf e_i$ и $\mathbf e^i$, определяемые условием $\mathbf e^i\cdot \mathbf e_k=\delta^i_k$. Для $\nabla_{\mathbf e_j}$ удобно сокращение $\nabla_j$ .
$\Delta f=\mathbf e^j\cdot\nabla_j\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathbf e^i\right)=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j} \mathbf e^i+\frac{\partial f}{\partial x^k}\nabla_j\mathbf e^k \right)\cdot\mathbf e^j$
Далее $\nabla_j\mathbf e^k=-\Gamma^k_{ij}\mathbf e^i,\;\;\mathbf e^i\cdot\mathbf e^j=g^{ij}$