Дисперсия механических волн в кристалле

[artempalkin]

Задача формулируется так:

Исследовать дисперсию волн в одномерной модели ионного кристалла, представляющей собой линейную цепочку чередующихся масс $m$ и $M$, соединенных пружинами одинаковой жесткости $\beta$ и длины $l$.
1) Вывести уравнение движения масс, предполагая, что они смещаются вдоль цепочки.
2) Получить дисперсионное соотношение $\omega=\omega(k)$ и построить соответствующие графики для акустической и оптической ветвей дисперсионной кривой.
3) По дисперсионному соотношению найти границы полос прозрачности на оси частот.
4) Определить распределение амплитуд колебаний масс для волн в акустической и оптической ветвях.
5) Найти фазовую и групповую скорости для акустической и оптической ветвей.
6) Исследовать распространение инфракрасного излучения с длиной волны $\lambda = 61$ мкм в кристалле $NaCl$ и инфракрасного излучения с длиной волны $\lambda = 71$ мкм в кристалле $KCl$, полагая, что $ \beta = $15 Н/м.

Как я решаю:

1) Уравнения движения есть (здесь $x_n$ - координата $n$-ного иона массой $m$ ,$y_n$ - координата $n$-ного иона массой $M$, я считаю, что ион массой $M$ находится правее иона массой $m$):

$$m \ddot x_n=\beta (y_{n-1}-2x_n+y_n)$$

$$M\ddot y_n=\beta(x_n-2y_n+x_{n+1})$$

2) Считаю, что будет волна, и подставляю следующее решение в таком случае:

$$x_n(t)=x_0e^{i(\omega t-2knl)}$$

$$y_n(t)=y_0e^{i(\omega t-k[2nl+l])}$$

Получается все достаточно красиво, все действительно, биквадратное уравнение относительно $\omega$, я его решаю и получаю два решения (при этом я считаю, что $M\gg m$; задача больше качественная, иначе бы просто аналитический ответ сильно усложнился по виду):

$$w_1=\sqrt{\frac{2\beta}M}\sqrt{\frac Mm+\cos^2kl}$$

$$\omega_2=\sqrt{\frac{2\beta}M}\sin kl$$

Вот здесь я подозреваю, что та, что с синусом - акустическая ветвь, а другая оптическая (потому что, как я прочитал, в акустическом случае $\omega\sim c\cdot k$ при малых $k$, а это как раз тот случай). Но по факту я не понимаю, в чем разница, и почему так или иначе. Подскажите, в чем разница?

3) Не совсем понимаю, что такое полоса прозрачности, ее физический смысл. Я подозреваю, что это будет область на графике (на оси $\omega$), где частоты быть не может, но почему эта область называется полосой прозрачности? Точно не понятно. В моем случае, видимо, полоса прозрачности будет: $\sqrt{\frac{2\beta}M}< \omega<\sqrt{\frac{2\beta}m}$

Вот такие вопросы пока! Подскажите, пожалуйста!