Произведение двух целых чисел равно 1

[Sdy]

Определение. $a \vdots b \Leftrightarrow \exists k : a = bk$.
Для начала докажем следующее утверждение: (далее всюду любые числа - целые, они обозначаются строчными латинскими буквами)
Утверждение 1. $a \ne 0 \wedge a \vdots b \Rightarrow \left\lvert a \right\rvert \geqslant \left\lvert b \right\rvert$.
Доказательство.
$a \vdots b \Rightarrow a = bk. \left\lvert a \right\rvert \geqslant \left\lvert b \right\rvert \Rightarrow \left\lvert bk \right\rvert \geqslant \left\lvert b \right\rvert \Rightarrow \left\lvert b \right\rvert \left\lvert k \right\rvert \geqslant \left\lvert b \right\rvert$ \Rightarrow \left\lvert b \right\rvert (\left\lvert k \right\rvert - 1) \geqslant 0 \Rightarrow \left\lvert k \right\rvert \geqslant 1.
А так как $k$ - целое, то чтобы выполнялось последнее неравенство, оно не должно равняться нулю. Но если $k=0$, так сразу и $a = 0$, но $a \ne 0$. Значит последнее неравенство истинно, а значит исходное утверждение доказано.

Теперь сформулируем интересующее нас утверждение:
Утверждение 2. $mk = 1 \Rightarrow (m = k = 1) \vee (m = k = -1)$.
Доказательство.
Вспомогательное утверждение:
$a \vdots b \wedge b \vdots c \Rightarrow a = bk \wedge b = cm \Rightarrow a = cl \Rightarrow a \vdots c$.
Также, любое $a \vdots 1$, так как $a = a \cdot 1$.
Из $mk = 1$, получаем (по определению делимости), что $1 \vdots m \wedge 1 \vdots k$. Значит $k \vdots 1 \wedge 1 \vdots m \Rightarrow k \vdots m$. Также и $m \vdots 1 \wedge 1 \vdots k \Rightarrow m \vdots k$.
Используя Утверждение 1 получаем, что $ \left\lvert m \right\rvert \geqslant \left\lvert k \right\rvert \wedge \left\lvert k \right\rvert \geqslant \left\lvert m \right\rvert $. Но в силу свойств порядка на $\mathbb{Z}$, это возможно только лишь если $\left\lvert m \right\rvert = \left\lvert k \right\rvert$. Из этого следует что либо $m = k$, либо $m = -k$. Если $m = -k$, то $-k^2 = 1$, что невозможно. Пусть $m=k$, тогда $m^2 - 1 = 0 \Rightarrow (m = 1) \vee (m = -1)$. Утверждение доказано.

Вопрос.
Верно ли всё доказано? И можно ли доказать как-то проще, может быть каким-то хитрым трюком? (Задача идёт до разделов со строгим введением что такое порядок, поэтому под "проще" я понимаю апеллирование к каким-то свойствам делимости).

[Otta]

Sdy в сообщении #1540273 писал(а):

Утверждение 2. $mk = 1 \Rightarrow (m = k = 1) \vee (m = k = -1)$.
Доказательство.

От противного. Предположим, что хотя бы один из множителей по модулю больше 1, то есть не меньше 2.
Дальше, думаю, очевидно.

[Padawan]

Sdy в сообщении #1540273 писал(а):

Задача идёт до разделов со строгим введением что такое порядок, поэтому под "проще" я понимаю апеллирование к каким-то свойствам делимости

А натуральные числа были введены до целых? Порядок на них? Как-то я вел дисциплину под названием то ли "Числовые системы", то ли "Действительные числа", и одной из первых теорем про $\mathbb Z$ было то, что $\mathbb Z=\mathbb N\cup(-\mathbb N)\cup \{0\}$. Пока Вы нам не скажете, чем можно пользоваться для доказательства Вашего утверждения, задача не имеет смысла. Так-то этот факт очевиден.

[nnosipov]

Sdy в сообщении #1540273 писал(а):

может быть каким-то хитрым трюком?

Просто охренеть. А если б было $mk=2$? Эту мегатеорему без шаманства точно не доказать.

[Sdy]

Otta, спасибо за ответ.

Otta в сообщении #1540277 писал(а):

От противного. Предположим, что хотя бы один из множителей по модулю больше 1, то есть не меньше 2.
Дальше, думаю, очевидно.

Я бы тогда делал так: оценим снизу значение выражения $mk$ (если оба числа положительны), при условии что $m \geqslant 2$. Оно равно $2k$. Ну а $2k = 0$ или $2k > 1$. (если $k \geqslant 0$). Неравенство $2k > 1$ можно доказать по индукции. Получили противоречие. Наверное можно сразу проводить индукцию по $m$, так будет даже прозрачнее.
Дальше можно рассмотреть случай когда оба числа отрицательны, но оно просто сводится к предыдущему случаю, если $k = -k_1, m = -m_1$, $mk = (-1)(-1)k_1m_1 = k_1m_1$, где оба числа положительны.
Если верно понял идею, то такой вариант мне нравится куда больше моего.

Padawan, спасибо за ответ.
Это задача из "Элементы математики в задачах с решениями и комментариями" (https://www.mccme.ru/free-books/yaschen ... ook-08.pdf). До доказуемого утверждения там идут темы: Теория множеств, Отображения множеств, Комбинаторика, Подстановки 1(Ходим по циклу), Метод математической индукции, Бином Ньютона, Теория графов, Подстановки 2. Само Утверждение 2 там не просят доказывать, просто нужно доказать, что $a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow a = b \vee a = -b$. Но в процессе доказательства этого утверждения там "всплывает" Утверждение 2. У меня получилось в точности то доказательство что там приводится в решениях, но там не было никаких комментариев к Утверждению 2, хотя оно использовалось, поэтому я решил понять как его доказывать строго, используя лишь материал, что был изложен до этого.

[Otta]

Sdy в сообщении #1540284 писал(а):

Это задача из "Элементы математики в задачах с решениями и комментариями" (https://www.mccme.ru/free-books/yaschen ... ook-08.pdf ). До доказуемого утверждения там идут темы: Теория множеств, Отображения множеств, Комбинаторика, Подстановки 1(Ходим по циклу), Метод математической индукции, Бином Ньютона, Теория графов, Подстановки 2. Само Утверждение 2 там не просят доказывать, просто нужно доказать, что $a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow a = b \vee a = -b$.

И там приведены решения. Они Вас чем-то не устроили?

[Sdy]

Otta, так я же написал:

Sdy в сообщении #1540284 писал(а):

Само Утверждение 2 там не просят доказывать, просто нужно доказать, что $a \vdots b \wedge b \vdots a \Rightarrow a = b \vee a = -b$. Но в процессе доказательства этого утверждения там "всплывает" Утверждение 2. У меня получилось в точности то доказательство что там приводится в решениях, но там не было никаких комментариев к Утверждению 2, хотя оно использовалось, поэтому я решил понять как его доказывать строго, используя лишь материал, что был изложен до этого.

Ну то есть там в решениях этот факт ($mk=1 \Rightarrow ...$) используют без доказательства.

[nnosipov]

Sdy в сообщении #1540295 писал(а):

Ну то есть там в решениях этот факт ($mk=1 \Rightarrow ...$) используют без доказательства.

Слава богу. А то я уж начинал думать что-то плохое про эту книгу.