Пересекаются ли две поверхности 2-го порядка в области

[Alex Krylov]

Искал тут область устойчивости фильтра, и по ходу дела возникла небольшая вспомогательная задачка, которая будет вполне уместна в рамках школьного курса алгебры (чего добру-то пропадать?). Условие задачи и примерный ход решения приведены ниже...

Цитата:

Пересекаются ли две поверхности 2-го порядка

$T^3 k_3^2-4 T^2 k_2 k_3+2 T k_1 k_3+4 T k_2^2+4 T k_3-4 k_1 k_2 = 0 \\ T^4 k_3^2-2 T^3 k_2 k_3+T^2 k_1 k_3+4 T^2 k_2^2-10 T k_1 k_2+12 T k_2+6 k_1^2-12 k_1 = 0$

в области

$$\left\{ \begin{array}{rcl} k_3 > 0 \\ T k_2-2 k_1+4 > 0 \\ \end{array} \right.$$

?

Здесь $k_1, k_2, k_3$ - переменные, а $T$ - произвольный положительный параметр.

Ответ: не пересекаются

Цитата:

Ход решения:

В 1-м уравнении выносим за скобки $k_1$:

$(2 T k_3-4 k_2) k_1+T^3 k_3^2-4 T^2 k_2 k_3+4 T k_2^2+4 T k_3 = 0$

Далее решение разбивается на два случая: $2 T k_3-4 k_2 = 0$ и $2 T k_3-4 k_2 \ne 0$

При $2 T k_3-4 k_2 \ne 0$ $k_1 = -\frac{T^3 k_3^2-4 T^2 k_2 k_3+4 T k_2^2+4 T k_3}{2 T k_3-4 k_2}$. Подставляем $k_1$ во 2-е уравнение. Получаем

$\frac{2 k_3 T (T^5 k_3^3-5 T^4 k_2 k_3^2+8 T^3 k_2^2 k_3+8 T^3 k_3^2-4 T^2 k_2^3-24 T^2 k_2 k_3+16 T k_2^2+24 T k_3-24 k_2)}{(T k_3-2 k_2)^2} = 0$

Кубическое уравнение $T^5 k_3^3-5 T^4 k_2 k_3^2+8 T^3 k_2^2 k_3+8 T^3 k_3^2-4 T^2 k_2^3-24 T^2 k_2 k_3+16 T k_2^2+24 T k_3-24 k_2 = 0$, решаемое относительно $k_3$, имеет всего один вещественный корень $k_3 = \frac{k_2}{T}, поэтому в итоге получаем:

$$\frac{2 T k_3 (T^4 k_3^2-4 T^3 k_2 k_3+4 T^2 k_2^2+8 T^2 k_3-16 T k_2+24)(T k_3-k_2)}{(T k_3-2 k_2)^2} = 0$$

Как было сказано выше, квадратное уравнение $T^4 k_3^2-4 T^3 k_2 k_3+4 T^2 k_2^2+8 T^2 k_3-16 T k_2+24 =0$, решаемое хоть относительно $k_2$, хоть относительно $k_3$, вещественных корней не имеет. Далее всё тривиально.

[nnosipov]

Alex Krylov в сообщении #1539160 писал(а):

которая будет вполне уместна в рамках школьного курса алгебры

А какой в ней смысл именно для школьного курса алгебры? Продемонстрировать идею исключения переменных можно и на более простых примерах. Очень громоздкое условие намекает на использование СКА в процессе решения, и тогда все превращается в рутинное упражнение. И зачем оно школьникам?