Параллельные прямые в треугольнике

[Rashi]

Привет всем! Это я обнаружил в ходе решений другой задачи, но не мог доказать. Мне самому интересно было бы доказать, если кто-нибудь дал бы подсказку /не решение/.

Дан треугольник $ABC; \ \ I - $ инцентр треугольника. Около треугольника описана окружность. Через точки $C, \ \ I$ как на диаметре проводим окружность. Точка $F-$вторая точка пересечения этих окружностей. $D, \ \ E -$ точки касания продолжения сторон треугольника вневписанными окружностями. Доказать, что $DE \parallel CF$.

https://d.radikal.ru/d24/2111/bd/e5a950797531.png

[Gagarin1968]

А что, трудно было выложить чертёжик здесь, без ссылок?
Вот так:

[Rashi]

Я не знал, что можно выложить фото здесь. Работал по этой ссылке:
topic88504.html

[zykov]

Я бы убрал окружность с диаметром $IC$, как лишнюю сущность.
Тогда формулировка такая:
Через $C$ проводим прямую параллельно $DE$, которая пересекает описанную окружность в точке $F$. Показать что $IF$ перпендикулярно $DE$.

Например доказать, что угол $\angle CIF$ равен углу $\angle CXE$, где $X$ - точка пересечения $DE$ и внешней биссектрисы в $C$.

По ссылке есть pdf, там может какая идея полезна будет.

[zykov]

Rashi в сообщении #1538977 писал(а):

если кто-нибудь дал бы подсказку

Пара фактов.

1. $CF$ пересекает $AB$ в $M$. Тогда $\angle BAC = \angle BFM$, из вписанности четырёхугольника. Значит $\triangle MFB$ и $\triangle MAC$ подобны.
2. $AE=BD=p/2$.

[lel0lel]

По-моему лучше вообще не строить прямую $FC$ и окружность с диаметром $IC$. Переформулировать задачу так: доказать, что прямая, проходящая через центр описанной окружности $O$ и середину $M$ отрезка $IC$, перпендикулярна $DE.$ Такая задачка должна легко биться координатным методом. Находим уравнение прямых $OM$ и $DE$ для произвольного треугольника с заданными сторонами. Проверяем ортогональность.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1539271 писал(а):

Такая задачка должна легко биться координатным методом.

Если разрешены вычисления, то это вообще не задача. Здесь даже задуматься не над чем, ибо само по себе условие задачи --- это уже готовая программа для вычислений.

[lel0lel]

Так вычисления не на компьютере, а на бумаге. В школе вроде не запрещён координатный метод. Радиусы вписанной, описанной и вневписанной школьник находить умеет, а там недалеко до угловых коэффициентов прямых.

[nnosipov]

Кстати, а утверждение-то верное? Что-то у меня не получается его подтвердить. Возможно, ошибка при вводе данных, но найти ее не могу.

Upd. Нашел. Все верно.

[lel0lel]

Выглядит интересным исследовать треугольник, получающийся пересечением прямых, подобных $DE$. То есть, строим ещё одну вневписанную окружность и проводим ещё две прямые через точки касания. Не будут ли совпадать какие-нибудь центры у исходного треугольника и построенного? Итерационно можно продолжить эту процедуру, тогда получим рекуррентную последовательность треугольников со свойствами, определяемыми исходным треугольником.

Вероятно, это даже исследовано, но все эти справочники особых точек в треугольниках лично на меня действуют как-то удручающе. Сразу закрыть их хочется и ничего не считать.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1539349 писал(а):

Не будут ли совпадать какие-нибудь центры у исходного треугольника и построенного?

Там этих центров несколько тысяч. Даже если что-то и совпадет (теоретически это можно компьютерно проверить), какой в этом смысл?

[lel0lel]

nnosipov
Да, Вы правы, смысла никакого. Но лично мне было бы интересно послушать, если бы кто-нибудь сказал ответ, что это за семейство треугольников) Просто ради любопытства. Как растёт площадь, как смещается центр описанной (вписанной) окружности, есть ли предел центров, подобны ли треугольники семейства, существуют ли неподвижные точки? Выглядит неплохой задачкой для студентов.

Между тем, Вы же взялись проверять исходное утверждение) Хотя и в нём не было смысла, то есть оно не было слишком интересным, но было преимущество -- проверялось за разумное время.

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1539353 писал(а):

Между тем, Вы же взялись проверять исходное утверждение)

Это от безделья и потому, что, действительно, проверка казалась короткой. Но спросонья ошибся с вводом данных и появился спортивный интерес.

-- Пн ноя 15, 2021 23:37:51 --

lel0lel в сообщении #1539353 писал(а):

Выглядит неплохой задачкой для студентов.

В качестве учебного материала сгодится, конечно.

[Rashi]

Спасибо всем!
Я тоже решил координатным методом. По другому не получилось пока.

[zykov]

lel0lel в сообщении #1539271 писал(а):

Переформулировать задачу так: доказать, что прямая, проходящая через центр описанной окружности $O$ и середину $M$ отрезка $IC$, перпендикулярна $DE.$

Хорошая идея!
А если воспользоваться свойством вписанной/вневписанных окружностей

Цитата:

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке.
Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

то становится совсем просто.

Центр описанной окружности $O$ делать отрезок $IX$ пополам. Точка $C_x$ тоже делит отрезок $IC$ пополам. Значит $OC_x \parallel XC$.
Т.е. надо доказать, что $XC \perp DE$.

Другимим словами, в некоем ромбе $J_b X J_a Y$ на диагонили $J_b J_a$ взята некая точка $C$. Из точки $C$ на стороны опущенны перпендикуляры $CD$ и $CE$. Надо доказать, что $XC \perp DE$.
Тут уже совсем просто.
Четырёхугольник $DCEY$ вписанный, значит $\angle CDE = \angle CYE$. Но из ромба $\angle CYJ_a = \angle CXJ_a$.
Значит $\angle CDE = \angle CXE_1$. Но $XE_1 \perp E_1C$, значит $XC \perp DE$.
Q.E.D.