Подобрать функцию Ляпунова

[marie-la]

Задача:
Подобрать функцию Ляпунова для системы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} y'_1=y_2 \\ y'_2=-10y_1-y_2^2 \\ \end{array} \right.$$

Если верить матлабу, то устойчивость будет.
Я попыталась квадратичную функцию взять, не получается, куб лишний. Если y_1y_2 добавить - то там с разными знаками квадраты выйдут. Потом попробовала к квадратичной функции добавить что-то кубическое, то есть рассмотреть функцию типа

$$V(y_1,y_2)=10y_1^2+y_2^2+Ay_1^3+By_1^2y_2+Cy_1y_2^2+Dy_2^3$$

но тоже у меня не вышло. Помогите, пожалуйста.

[Red_Herring]

Устойчивость будет
1. Сначала добавьте к ф Л кубические члены т. ч. в ее производной по траектории кубических членов не было бы
2. Потом добавьте члены 4йстепени

[marie-la]

Red_Herring
Ой, точно, я просто коэффициенты в кубических частях плохо пересчитала :)

[Red_Herring]

Вообще система

$$\left\{\begin{aligned} &x’=y+ax^3,\\ &y’=-x+by^3 \end{aligned}\right.$$

имеет устойчивый (хотя и нестандартный) фокус при $a+b<0$, неустойчивый при $>0$ И центр при $=0$

[marie-la]

Red_Herring
Нет, не вышло все-таки :( Мы же подбираем кубическую часть, чтоб в производной кубической части не было, а потом четвертую степень так, чтоб там не все сократилось, а осталось что-то отрицательное. Но у меня выходит выражение вида

$$-10Ay_1^4+(3A-30B)y_1^2y_2^2+By_2^4,$$

которое подбором коэффициентов не сделается отрицательным ($A$ - коэффициент при $y_1^3y_2$, $B$ - при $y_1y_2^3$)

[Red_Herring]

marie-la
Неверно. После того как вы убили кубическую часть остались члены 4й степени
Где они?

[marie-la]

Red_Herring
Те, что остались, сокращаются. Вопрос, что те, которые не сокращаются, не удается привести к отрицательной форме. Убить все четвертые степени можно, но тогда возникнут пятые, и их знак не определен.
Вот такая функция рассматривается

$$& V\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)=10{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+\frac{40}{3}{{y}_{1}}^{3}+2{{y}_{1}}{{y}_{2}}^{2}+ \\ & E{{y}_{1}}^{4}+F{{y}_{1}}^{3}{{y}_{2}}+G{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}+H{{y}_{1}}{{y}_{2}}^{3}+K{{y}_{2}}^{4} \\ $$

Производная выходит

$$\begin{align} & \frac{dV\left( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \right)}{dt}=-4{{y}_{1}}{{y}_{2}}^{3}-10F{{y}_{1}}^{4}+\left( 4E-20G \right){{y}_{1}}^{3}{{y}_{2}}+ \\ & +\left( 3F-30H \right){{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}+\left( 2G-40K \right){{y}_{1}}{{y}_{2}}^{3}+H{{y}_{2}}^{4}- \\ & -F{{y}_{1}}^{3}{{y}_{2}}^{2}-2G{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{3}-3H{{y}_{1}}{{y}_{2}}^{4}-4K{{y}_{2}}^{5} \\ \end{align} $$

При этом члены с $y_1^3y_2$, $y_1y_2^3$ сокращаются подбором коэффициентов $E$,$G$,$K$, а остальные имеют тот вид и производную, что я написала выше, и выражение не может быть сделано отрицательной формой, только нулем знакопостоянным.

[Red_Herring]

Я думал о системе с кубом

А чем 0 плох? В этом случае будет что?

[marie-la]

Red_Herring в сообщении #1539127 писал(а):

Я думал о системе с кубом

А чем 0 плох? В этом случае будет что?

Так если бы там 0 вышел! Там ведь будет ненулевой многочлен пятой степени.

[demolishka]

У меня вроде бы получилось доказать асимптотическую устойчивость с использованием раздутия (замены $u x = y$ при $x \not= 0$). Получается система

$$ \left\{\begin{aligned} &\dot{x} = x u,\\ &\dot{u} = -10 - u^{2} ( x + 1) \end{aligned}\right. $$

Единственное затруднение с фазовым портретом при $x<0$ (или $x>0$) и $u>0$. Но достаточно заметить, что при $x=0$ величина $u$ убывает до нуля за конечное время. Дальше из геометрического смысла раздутия (продолжения векторного поля на $\mathbb{R}^{2} \setminus \{0 \}$ с вклеенным за место нуля $\mathbb{R}P^{1}$) и соображений компактности (достаточно рассматривать ограниченные сверху $u$) получается асимптотическая устойчивость для некоторой окрестности $\mathbb{R}P^{1}$.