Аналит.геом., задача, уравнение проекции прямой на плоскость

[Alexander__]

Пожалуйста, подскажите правильно ли решена задача.

-----

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$

-----

Первый способ:
1. найдём точку $M_1$ пересечения $P$ и $L$
2. найдём точку $M_0$ на прямой $L$, отличную от $M_1$
3. найдём $M_2$ -- проекцию $M_0$ на $P$
4. проведём прямую $\vec{M_1 M_2}$

Много вычислений.

-----

Второй способ:
1. найдём точку $M_1$ пересечения $P$ и $L$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+5y-z=25 \\ x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right. \implies M_1\left(-\frac{3}{2},\frac{37}{6},\frac{13}{3}\right)$$

2. найдём направляющий вектор прямой

$$\vec{a}(L) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array} \right| = (0,4,2) \sim (0,2,1)$$

3. найдём проекцию $\vec{a}(L)$ на вектор нормали плоскости $\vec{n}(P)$

$$ Pr_{\vec{n}}\vec{a} = \frac{(0,2,1)(1,5,-1)}{(1,5,-1)^2} = \frac{1}{3} $$

4. найдём направляющий вектор проекции прямой

$$ \vec{a}(Pr_{P}L) = \vec{a}(L) - \vec{n}(P) \cdot Pr_{\vec{n}}\vec{a} = (0,2,1) - (1,5,-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot (-1,1,4) \sim (-1,1,4) $$

5. ответом будет

$$ \vec{r}(Pr_{P}L) = \vec{a}(Pr_{P}L) t + \vec{r_0}(M_1) = (-1,1,4) t + \frac{1}{6} (-9,37,26) $$

-----

Третий способ:

1. найдём направляющий вектор прямой $\vec{a}(L) = (0,2,1)$

2. найдём вектор нормали плоскости $P_1$, которая перпендикулярна плоскости $P$ и содержащей прямую $L$

$$\vec{a}(P_1) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right| = (-7,1,-2)$$

3. найдём направляющий вектор проекции прямой

$$ \vec{r}(Pr_{P}L) = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -7 & 1 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \end{array} \right| = (9,-9,-36) \sim (-1,1,4) $$

4. ответом будет

$$ \vec{r}(Pr_{P}L) = \vec{a}(Pr_{P}L) t + \vec{r_0}(M_1) = (-1,1,4) t + \frac{1}{6} (-9,37,26) $$

[svv]

Правильно.

У Вас $\vec{a}(L)$ — направляющий вектор исходной прямой, $\vec{a}(Pr_{P}L)$ — направляющий вектор её проекции. Получается, что $\vec{a}$ — это общее обозначение направляющего вектора прямой, а какой именно прямой — указывается в скобках. Аналогично для нормалей к плоскостям: $\vec{n}(\text{плоскость})$. Скажите, такие обозначения рекомендует преподаватель? Авторы учебника? Просто обычно используются разные буквы или дополнительный индекс.

А как бы Вы решали, если бы выяснилось, что $L$ и $P$ не пересекаются?

[artempalkin]

Еще вариантик: зададим уравнение произвольной плоскости, проходящей через эту прямую

$A(x-y+2z-1)+B(3x-y+2z+2)=0$

Подберем такие $A$ и $B$, чтобы нормаль этой плоскости была перпендикулярна нормали к $x+5y-z-25=0$. Пересечение $x+5y-z-25=0$ и получившейся плоскости и есть искомая проекция.

[svv]

Тоже просто и красиво.

[artempalkin]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1539039 писал(а):

Тоже просто и красиво.

Что значит "тоже"? Это the просто и красиво!

[Alexander__]

svv в сообщении #1538926 писал(а):

Правильно.

Благодарю!

svv в сообщении #1538926 писал(а):

У Вас $\vec{a}(L)$ — направляющий вектор исходной прямой, $\vec{a}(Pr_{P}L)$ — направляющий вектор её проекции. Получается, что $\vec{a}$ — это общее обозначение направляющего вектора прямой, а какой именно прямой — указывается в скобках. Аналогично для нормалей к плоскостям: $\vec{n}(\text{плоскость})$. Скажите, такие обозначения рекомендует преподаватель? Авторы учебника? Просто обычно используются разные буквы или дополнительный индекс.

В другой теме возникла сначала путаница для $\vec{r}=...$, потому что на самом деле он функция от параметра $\vec{r}(t)=...$. Действительно, используются буквы и индексы. Вводить новый буквы -- обычно путанно. Городить 3х этажные индексы показалось плохой идеей. $\vec{r}(...)$ как функция от объекта показалось наглядным и простым в копировании, но вы правы, что выглядит странновато. Видиом, лучше не отходит от стандартных новых обозначений и индексов.

svv в сообщении #1538926 писал(а):

А как бы Вы решали, если бы выяснилось, что $L$ и $P$ не пересекаются?

Спасибо за вопрос. Верно я понимаю, что в этом случае соответствующая система

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x+5y-z=25 \\ x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$$

не имела бы решения?

Тогда бы направляющий вектор $\vec{a}_L$ был бы коллинеарен с направляющим вектором проекции прямой $\vec{a}_{Pr_P L}$. Осталось только найти начальную точку: проекция любой точки прямой $L$ на плоскость $P$.

[TOTAL]

Alexander__ в сообщении #1538912 писал(а):

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$

Исключим $t$ из системы уравнений
$x+5y-z=25$
$x-y+2z-6t=1$
$3x-y+2z-4t=-2$

[Alexander__]

artempalkin в сообщении #1538927 писал(а):

Еще вариантик: зададим уравнение произвольной плоскости, проходящей через эту прямую

$A(x-y+2z-1)+B(3x-y+2z+2)=0$

Подберем такие $A$ и $B$, чтобы нормаль этой плоскости была перпендикулярна нормали к $x+5y-z-25=0$. Пересечение $x+5y-z-25=0$ и получившейся плоскости и есть искомая проекция.

Хорошая идея. Я тоже про неё думал, но не знал/догадался как задать семейство плоскостей ч/з прямую.

Арифметика:

$$A(x-y+2z-1)+B(3x-y+2z+2)=0 \implies (A+3B)x-(A+B)y+(2A+2B)z+(-A+2B)=0$$

Вектор нормали этой плоскости должен быть перпендикулярен вектору нормали плоскости в условии. Запишем скалярное произведение:

$$(A+3B) \cdot 1 + (-A-B) \cdot 1 + (2A+2B) \cdot (-1) = 0 \implies 3A + 2B = 0$$

Частное решение: $A=-2, B=3$.

Следовательно ответом является прямая:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 7x-y+2z+8=0 \\ x+5y-z+25=0 \\ \end{array} \right.$$

-- 14.11.2021, 20:13 --

TOTAL в сообщении #1539147 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1538912 писал(а):

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$

Исключим $t$ из системы уравнений
$x+5y-z=25$
$x-y+2z-6t=1$
$3x-y+2z-4t=-2$

Вы точно знаете больше, чем большинство После решения про семейство плоскостей я могу предположить откуда взялись $-6t$ и $-4t$. Исключив их, действительно получится плоскость, перпендикулярная $P$ и содержащая прямую $L$.

Но откуда их взяли вы и руководствуясь каким геометрическим смыслом?

[TOTAL]

Alexander__ в сообщении #1539192 писал(а):

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$
Исключим $t$ из системы уравнений
$x+5y-z=25$
$x-y+2z-6t=1$
$3x-y+2z-4t=-2$

Но откуда их взяли вы и руководствуясь каким геометрическим смыслом?

Если $(x,y,z)$ принадлежит искомой проекции (т.е. принадлежит плоскости $P$), то $(x+t, y+5t, z-t)$ принадлежит прямой $L$.

[Alexander__]

TOTAL в сообщении #1539288 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1539192 писал(а):

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$
Исключим $t$ из системы уравнений
$x+5y-z=25$
$x-y+2z-6t=1$
$3x-y+2z-4t=-2$

Но откуда их взяли вы и руководствуясь каким геометрическим смыслом?

Если $(x,y,z)$ принадлежит искомой проекции (т.е. принадлежит плоскости $P$), то $(x+t, y+5t, z-t)$ принадлежит прямой $L$.

Верно я понимаю, что $(x+t, y+5t, z-t)$ именно в такой форме потому, что вектор нормали $P$ равен $(1,5,-1)$?
Затем $(x+t, y+5t, z-t)$ подставляем в два уравнения для прямой $L$?

[TOTAL]

Alexander__ в сообщении #1539868 писал(а):

Верно я понимаю, что $(x+t, y+5t, z-t)$ именно в такой форме потому, что вектор нормали $P$ равен $(1,5,-1)$?
Затем $(x+t, y+5t, z-t)$ подставляем в два уравнения для прямой $L$?

Да, верно.
Если вышли из проекции какой-то фигуры в направлении нормали, то должны "воткнуться" в саму фигуру.

[Alexander__]

TOTAL в сообщении #1539288 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1539192 писал(а):

Составить уравнение проекции на плоскость $P:x+5y-z=25$ прямой $ L: \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+2z=1 \\ 3x-y+2z=-2 \\ \end{array} \right.$
Исключим $t$ из системы уравнений
$x+5y-z=25$
$x-y+2z-6t=1$
$3x-y+2z-4t=-2$

Но откуда их взяли вы и руководствуясь каким геометрическим смыслом?

Если $(x,y,z)$ принадлежит искомой проекции (т.е. принадлежит плоскости $P$), то $(x+t, y+5t, z-t)$ принадлежит прямой $L$.

Всё понятно. Очень красивое решение. Благодарю!