Бикубическое диофантово уравнение.

[TR63]

При решении здешней обобщённой (мною) задачи столкнулась с уравнением

$$25a^6-19a^4-5a^2+63=q^2$$

${(a;q)\inN}>1$

Вопрос: существуют ли натуральные решения у этого бикубического уравнения в указанной области.

Попытки решения.
1).При чётных $(a)$ решений не существует.
2).Вне области существует решение: $(a;q)=(1;8)$.
3).Можно искать решение перебором (но существует ли оно). При $(a<40)$ решений не существует.

Прошу помочь найти решение, если оно существует.

[lel0lel]

Зажать между квадратами.

[TR63]

lel0lel, мне известен такой метод, но я не соображу, как это сделать в данном случае. У Вас это получилось? Если да, то каков ответ. Меня устроит ответ типа "существует"\"не существует". Хотя интересно и само решение.

[lel0lel]

Нет, я не решал, но вот тема https://dxdy.ru/topic136587-15.html, в которой достаточно подробно разобран этот метод. Можно даже использовать матпакеты.

[TR63]

lel0lel, спасибо за ссылку. Помню эту тему. Интересная. Но вряд ли здесь это получится. Это уравнение я получила из обобщения уравнения, которое зажимается квадратами (правда, не совсем легальным способом моё уравнение получено, но это не имеет значения, т. к. исходное уравнение решается аналитически). Для моего уравнения условия зажатия квадратами не столь благоприятны как для исходного. Надо, возможно, искать другой подход.
Матпакеты это хорошо, если они могут такое решать. Я знаю только Вольфрам. Он говорит, что решений нет. Если это так, т.е. ему можно верить, то меня для данной задачи это устраивает и можно будет сделать ещё одно обобщение.

[Dmitriy40]

Для нечётных $a$ решений нет до $2<a<10^9$ независимо от соотношения $a$ и $q$.

Что интересно, по модулю $44$ подходят лишь $8$ вариантов $a$, а по модулю $6820$ лишь $352$ варианта, почти 20-ти кратное уменьшение.

[Shadow]

TR63 в сообщении #1538639 писал(а):

lel0lel, мне известен такой метод, но я не соображу, как это сделать в данном случае. У Вас это получилось? Если да, то каков ответ. Меня устроит ответ типа "существует"\"не существует". Хотя интересно и само решение.

$\Rightarrow 2500a^6-1900a^4-500a^2+6300=(10q)^2$

При $a\ge 8$ нет решений

Проверьте до $a=7$

[TR63]

Shadow, блеск (не проверяла аналитическую часть, но Вам верю). Спасибо.
Dmitriy40, спасибо за интерес к теме (мне бы Ваши способности).
Далее предполагается рассмотреть семейство бикубических диофантовых уравнений, аналогичных исходному и решить такую же задачу, но для семейства: будет ли в нём существовать уравнение с натуральными решениями. (Каждое уравнение квадратами не зажмёшь, т.к. их неограниченное количество; возможно, понадобится перебор.) Но это
не сегодня.