Диаграмма Юнга в два ряда

[Polarny]

$C(n,m)$ — количество способов расставить числа от 1 до $n+m$ в клетках диаграммы Юнга из двух строк, длины $n$ и $m(n>m)$, так чтобы в каждой строке и каждом столбце числа возрастали.
Необходимо найти рукуррентное соотношение и явную формулу.

Я пришёл вот к чему: $C(n+1,m+1)=2C(n,m)+C(n-1,m+1)+C(n+1,m-1)$. Это то, что надо или есть что-то получше?
И как искать явную формулу? С помощью производящей функции? У меня не получается. Может кто помочь?

[мат-ламер]

У меня возникла ассоциация с известной задачей о размене в теории вероятностей. К театральной кассе подходят $m+n$ человек. Из них у $n$ человек 5 рублей, у $m$ человек 10 рублей (масштаб денег условный). Они хотят купить по одному билету, который стоит 5 рублей. В кассе первоначально денег нет. В исходной постановке спрашивается, какова вероятность, что все они расплатятся и все получат сдачу. Но мы будем интересоваться, сколько вариантов успешной расплаты. Можно предполагать, что люди занумерованы числами $1,...,n+m$ подряд. Товарищи с пятёрками получают место в первом ряду. Товарищи с десятками во втором. Тем самым образуется что-то похожее на диаграмму Юнга.

Но это весьма предварительные мысли. Может этот путь к цели и не ведёт.

[Polarny]

Я знаю эту задачу когда к кассе подходят 2n человек. Получается n-е число Каталана.
Собственно C(n, n) и есть это число.

[мат-ламер]

Это не поможет?

[lel0lel]

Polarny в сообщении #1538091 писал(а):

Я пришёл вот к чему: $C(n+1,m+1)=2C(n,m)+C(n-1,m+1)+C(n+1,m-1)$

Можно попробовать так: полагаем $m=1$ и, решая рекуррентное соотношение, находим $C(n,2)$; далее полагаем $m=2$ и находим $C(n,3)$; и так далее. Возможно, это поможет найти общую формулу.

[Slav-27]

Polarny в сообщении #1538091 писал(а):

расставить числа от 1 до $n+m$ в клетках диаграммы Юнга из двух строк, длины $n$ и $m(n>m)$, так чтобы в каждой строке и каждом столбце числа возрастали

Это называется "стандартные таблицы Юнга" и хорошо изучено (потому что надо для теории представлений симметрических групп); их количество можно посчитать по формуле крюков.

[мат-ламер]

Можно посмотреть и https://en.wikipedia.org/wiki/Hook_length_formula .