Совпадение цифр в конце соседних членов посл.-ти

[kthxbye]

Пусть $m\geq 2$ это некоторое постоянное целое.

Пусть $f(n)$ это A007814, показатель максимальной степени двойки на которую $n$ делится без остатка.

Имеем последовательность

$$a(0)=a(1)=1$$

$$a(2n) = a(n)+a(n-2^{f(n)})+a(2n-2^{f(n)})$$

$$a(2n+1) = ma(n)$$

Пусть

$$s(n,m)=\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}a(k)$$

Здесь я вношу свой вклад и выдвигаю следующую гипотезу для $m\geq 2$

$$s(n,m)=(n+m)s(n-1,m)+((m+1)^2-4)\frac{(n+m-1)(g(n+m-2)-g(m+1))}{(m+3)(m+1)!}, s(0,m)=1$$

где

$$g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k!$$

это A003422.

Что примечательно, так это тот факт, что для значительно больших соседних членов последовательности (для любого $m\geq 2$) в любой системе счисления $p\geq 2$ мы имеем непрерывное совпадение $k$ цифр с правой стороны, т.е. с конца.

Это можно достаточно легко проверить на pari через Vecrev(digits(s(n,m), p)).

Чем можно объяснить сей занимательный факт?

[wrest]

kthxbye в сообщении #1537319 писал(а):

Чем можно объяснить сей занимательный факт?

Тем что факториалы, начиная уже с $5!$, заканчиваются нулями и чем дальше тем больше?

[kthxbye]

wrest в сообщении #1537325 писал(а):

kthxbye в сообщении #1537319 писал(а):

Чем можно объяснить сей занимательный факт?

Тем что факториалы, начиная уже с $5!$, заканчиваются нулями и чем дальше тем больше?

Факториалы это частный случай $m=1$. Или вы намекаете на несколько иное представление $s(n,m)$? Я рассматривал по отдельности части $(n+m)s(n-1,m)$ и $((m+1)^2-4)\frac{(n+m-1)(g(n+m-2)-g(m+1))}{(m+3)(m+1)!}$, нулями они отнюдь не заканчиваются, да и аналогичных повторений, увы, не дают.