Задача по теории вероятности

[Dedekind]

Условие. Найти вероятность того, что случайная выборка из 20 человек включает в себя не менее 12 женщин, если предположить, что соотношение полов в популяции 50:50.

Решение. По стандартной схеме. Пусть размер популяции $n$. Количество общих исходов: $C_n^{20}$, количество способов из половины популяции выбрать 12 женщин: $C_{n/2}^{12}$, из второй половины выбрать 8 мужчин: $C_{n/2}^{8}$. Тогда вероятность:

$$P = \dfrac{C_{n/2}^{12}\cdot C_{n/2}^{8}}{C_n^{20}} = \dfrac{(n/2)!\cdot (n/2)!\cdot (n - 20)!\cdot 20!}{(n/2 - 8)!\cdot 8!\cdot (n/2 - 12)!\cdot 12!\cdot n!}$$

Вопрос. А дальше непонятно как считать. Я пробовал напрямую в Математике подставлять большие значения $n$. Вероятность похоже сходится к, приблизительно, $ 0.120$. Но, во-первых, в учебнике ответ $ 0.13$, а, во-вторых, можно ли это как-то вручную оценить, при $n\to\infty$? Пробовал раскладывать по формуле Стирлинга, тоже ничего похожего не получается.

[zykov]

В условии нет никаких $n$.
У меня выходит $(\frac12)^{20}(C_{20}^{12}+C_{20}^{13}+C_{20}^{14}+C_{20}^{15}+C_{20}^{16}+C_{20}^{17}+C_{20}^{18}+C_{20}^{19}+C_{20}^{20}) \approx 0.2517$.

-- 01.11.2021, 15:26 --

Такая же сумма, но от 13, а не от 12 даёт 0.1316.
Но она соответствует условию "более 12 женщин".

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1537256 писал(а):

а, во-вторых, можно ли это как-то вручную оценить, при $n\to\infty$?

Что "это"? Можно поточнее сформулировать, какую задачу вы решаете? Какая задача в условии, понятно. Но вы вроде обобщить пытаетесь. И может для начала стоит разобраться полностью с исходной постановкой?

-- Пн ноя 01, 2021 16:51:22 --

Dedekind в сообщении #1537256 писал(а):

По стандартной схеме.

Какую схему в данном случае вы считаете стандартной?

[zykov]

Не то чтобы обобщить. Он пытался взять конечную популяцию и найти предел для бесконечной популяции.
Что здесь соврешенно лишнее.
Плюс, видимо у него в книге расхождение между условием задачи и ответом.

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1537256 писал(а):

количество способов из половины популяции

При чём тут половина популяции?

[zykov]

Ну это он так моделировал соотношение 50/50.

[TOTAL]

Монету кидают $20$ раз. Какова вероятность того, что орлов минимум $12$?

[Dedekind]

zykov
Спасибо, похоже, какая-то путаница в условии. Можно, пожалуйста, Вас попросить немного расшифровать, как это получилось? Потому что интуитивно не могу сообразить смысл этих сочетаний. Зачем нам количество способов выбрать 12, 13 и т.д. женщин из 20 человек, если мы изначально выбираем их из всей популяции? И откуда взялось $0.5^{20}$?

-- 01.11.2021, 15:04 --

мат-ламер

zykov в сообщении #1537272 писал(а):

Не то чтобы обобщить. Он пытался взять конечную популяцию и найти предел для бесконечной популяции.

Да, именно так я и пытался сделать.

[zykov]

Вот какая вероятность, что в выборке ровно 12 женщин?
Например веротяность того, что первые 12 - женщины, следующие 8 - мужчины, будет $(\frac12)^{12} (\frac12)^8=(\frac12)^{20}$.
Но эти 12 женщин могут быть не первые 12, а поседние 12. Или ещё как. В целом количество таких вариантов $C_{20}^{12}$.

[мат-ламер]

Dedekind в сообщении #1537278 писал(а):

Зачем нам количество способов выбрать 12, 13 и т.д. женщин из 20 человек

Я такого в условии не обнаружил. Это вы сами придумали.

[Dedekind]

zykov
Все, теперь окончательно понял, большое спасибо:)

мат-ламер
В условии этого и не было. Это был мой комментарий к первому сообщению zykov в этой теме.

-- 01.11.2021, 15:14 --

TOTAL
Вам тоже спасибо, я как-то не подумал о такой переформулировке:) Теперь понятно, почему не нужно было брать размер популяции в целом:)

[Markus228]

zykov в сообщении #1537263 писал(а):

У меня выходит $(\frac12)^{20}(C_{20}^{12}+C_{20}^{13}+C_{20}^{14}+C_{20}^{15}+C_{20}^{16}+C_{20}^{17}+C_{20}^{18}+C_{20}^{19}+C_{20}^{20}) \approx 0.2517$.

Можно упростить $\frac{1}{2}-(\frac12)^{20}(\frac{1}{2}C_{20}^{10}+C_{20}^{11})$