Собственные числа матрицы

[zykov]

Евгений Машеров в сообщении #1537264 писал(а):

А вот тут надо смотреть, какая точность вычислений. Возможно, double, и попросту вышли на машинную погрешность

Да можно и не смотреть. Как раз double и вышел на свои предельные 1e-16.
Там точные значения доходят до 1e-123. Просто extended не поможет.
Ну вобщем символьные вычисления в Maxima как раз и дают "длинную" арифметику.

[vpb]

zykov в сообщении #1537260 писал(а):

Который из них?

Любой должен. По причинам, о которых я писал в своем первом сообщении в этой теме.

[zykov]

Ну вот для вашей матрицы стандартный численный метод с double float работает только частично. Находит большие с.з., для маленьких врёт.
Это не симметричная матрица, но из неё можно сделать симметричную $A^T A$. Для неё тоже численный метод врёт для маленьких с.з.

А метод через Maxima находит все с.з. с высокой точностью.
Безусловно, всё это можно и без Maxima сделать. Например, на каком-нибудь Python самостоятельно написать.
Но ТС спрашивал, есть ли готовый пакет. Вот ему и решение - скачать wxMaxima и запустить там код, который я привёл (с его матрицей).

[Joyce]

Сейчас только смог добраться до компютера. Спасибо большое всем (искрене), не ожидал таких развёрнутых ответов, спасибо. Сейчас попытаюсь всё написанное осознать (впитать).

мат-ламер в сообщении #1537082 писал(а):

Обычно это бывает в теоретических исследованиях, а не на практике

Единственно отвечу здесь. Да, задача теоретическая и столкнулся с вопросом, который давно был интересен, решил прояснить. Всё оказалось, как всегда, сложнее) Но здесь я дилетант, чего было ожидать...

[Евгений Машеров]

Ну, оставляя в стороне вопрос, в какой задаче появляются собственные значения порядка $10^{-123}$, скажу, что их можно и без характеристического полинома считать, если в (точной) арифметике обратить матрицу, а затем посчитать с.з. для неё. Вот есть со "средними" проблема возникнет - то не знаю. Хотя можно обращать матрицу $A-kI$ где k - величина, близкая к желаемому диапазону с.з.

[zykov]

Евгений Машеров в сообщении #1537290 писал(а):

Хотя можно обращать матрицу $A-kI$ где k - величина, близкая к желаемому диапазону с.з.

Да там много разных алгоритмов есть. Уже до нас придумали. Вот Inverse iteration.

[vpb]

zykov в сообщении #1537279 писал(а):

Находит большие с.з., для маленьких врёт.

Дык, так и должно быть. В классических методах (для симметрических матриц) погрешность собственного значения --- порядка последней цифры в наибольшем из них, и надо это еще умножить на некоторую небольшую степень, типа квадрат, размерности задачи. Короче, любое с.з. определяется с погрешностью $Kn^2M\varepsilon$ , где $K$ --- константа, $n$ --- размерность задачи, $M$ --- наибольшее по модулю с.з., $\varepsilon$ --- машинный эпсилон (расстояние от $1$ до следующего машинного числа).

[Евгений Машеров]

Да методов-то много. Вопрос - что требуется, если будет ответ, тогда и можно будет порекомендовать лучший. Исследуемая матрица важна тем, что она "хороший плохой пример", с.з. можно найти аналитически, а численные методы тупят, и легко оценить их ошибку. На практике я таких матриц не встречал, хотя если есть задачи, в которых важны собственные значения порядка "гугол в минус первой", желал бы о них узнать, просто ради духовного обогащения...

[vpb]

Также добавлю. Я кое с кем проконсультировался, и вывод такой, что символьные методы в рассматриваемой ситуации таки вполне могут работать.