Релятивистский распад частицы

[profilescit]

Частица массы $M$ движущаяся со скоростью $\vec{v}$ распадается "на лету" на две частицы массы $m_1$ и $m_2$. Определить зависимость угла вылета последних от их энергии в лабораторной системе отсчета.

Это мои первые попытки решения задач с использованием 4-импульс, возможно не все приемы мне еще известны.
Пусть $c = 1$
Перенесемся в систему отсчета движущаяся со скоростью $\vec{v}$.

В таком случае 4-импульсы частиц до и после столкновения будут $p_0^i = (M, 0, 0,0)$, $p_1^i = (E_1, p_x, p_y, 0)$, $p_2^i = (E_2, -p_x, -p_y, 0)$

$p_0^i - p_1^i = p_2^i$ и "возводим в квадрат" обе стороны.

Тогда $M^2 - 2 M E_1 + m_1^2 = m_2^2$ откуда $E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M}$ и аналогично $E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}$

Теперь перенесемся в начальную систему отсчета, воспользуемся преобразованием Лоренца для энергии

$E_1' = \gamma (E_1 + v p_x)$
$E_2' = \gamma(E_2 - v p_x)$ а $y$ компоненты импульса сохраняются при переходе

А дальше, к сожалению, не понимаю как продолжить

[svv]

Мне кажется, в этой задаче не стоит переходить в другую СО, все легко найти в лабораторной.

Для каждой частицы найдем модуль вектора импульса (трехмерного). Для распавшейся частицы — по формуле $p=M\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$, а для продуктов распада — по формуле $p_i=\sqrt{E_i^2-m_i^2}$, поскольку энергию каждой из образовавшихся частиц можно считать известной, если я правильно понял условие.

Сохранение трехмерного импульса $\mathbf p=\mathbf p_1+\mathbf p_2$ означает, что эти векторы образуют треугольник. И длины всех его сторон нам уже известны. Остаётся найти угол между $\mathbf p$ и $\mathbf p_1$, а также между $\mathbf p$ и $\mathbf p_2.$