Численное решение уравнения Гельмогольца (Монте-Карло)

[pppppppo_98]

Стоит задача найти коэффициент отражения полны из волновода в резонаторе. Не знаю в какой раздел писать (если не туда пусть моедераторы снесут в тот раздел который нужно), так как это вычислительные методы уравнений математической физики (математической физики). Задача двумерная, конфигурация приведена на эксизе ниже. Есть некоторая область резонатора 1 (полигон, задача численная поэтому все размеры и формы реконфигурируются по необходимости), заполненная воздухом (можно вакуумом считать), область ограничена металлическим листом (вероятнее всего медь). Область 4 - волновод (размеры его малы по сравнению с длиной волны. но тем не менее не нулевые), в который от внешнего генератора(справа) подается СВЧ поле (915 Мгц). Внутри резонатора 1 помещена диэлектрическая слабопоглощающая труба (стекло скорее всего) - на самом деле можно считать поглощение 0, только скорость ЭМ волн меняется в трубе, внутренность которой заполнено некоторым умеренно поглощающим СВЧ материалом (смесь песка с полупроводником). Из резонатора в область 4 (волновод) имеется отраженная волна. Размеры областей 1,2,3 сопоставимы с длиной волны. Вопрос: как посчитать отношение энергии отраженной волны к энергии получаемой из генератора СВЧ, то есть в принципе пока не требуется расчет конфигурации СВЧ поля во всем резонаторе(только в области входа/выхода)



Очевидно, что из уравнений Максвелла сведется в областях $i=\{1,2,3\}$ к уравнениям Гельмгольца
$\Delta u + k_i^2 u =0$,
где $k_i^2$ - квадраты волновых чисел, причем в области 3 этот квадрат комплексный. Еще раз повторюсь мне пока нужно найти только коэффициент отражения волны. Обсуждали этот вопрос с одним человеком - он мне все про геометрическую оптику и про отражения говорил, я все отвергал ибо тут ближняя волновая зона... Но вот пару часов назад из глубин подсознания всплыл следующий факт: пропагатор (функцию Грина) нестационарного уравнения Шредингера свободной частицы в свободном же пространстве
$\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}= -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi $
можно найти с помощью интегрирования по путям (задача о пьяном матросе). А численно это можно сделать с помощью вычисления амплитуд вблизи классического пути и суммирования амплитуд по путей (то есть методом Монте Карло). Но повторюсь из глубин подсознания совершенно точно всплыл факт, что преподаватель нам это делал для случая не стационарного..
Если как водится перейти к разделению переменных и собственным значениям $\Psi=\psi e^{\frac{i}{\hbar} E t}$, уравнение Шредингера превращается как раз в уравнение Гельмгольца при $k^2=\frac{2m E}{\hbar^2}$. Далее в том же нгаправлении играет принцип Гюйгенса-Френеля - каждая точка до которой дошла волна ЭМ излучения становится сама источником сферической волны

И вот первый вопрос - а никто никогда не встречал в статьях метода получения пропагатора уравнения Гельмгольца с помощью интеграла по путям, который можно было методом Монте Карло... видится так...Запустили фотон из области 4 в резонатор.. Отсчитали какой-то шаг посчитали фазу вдоль пути, затем выбрали новое случайное направление (видимо тут неравномерно надо выбирать направления на сфере и вводить некоторую функцию рассеяния) и снова шаг, снова посчитали фазу. Если фотон попал на металлическую стенку, зеркально отразили, чуть ослабили амплитуду за счет сопротивления металла); если попал в область 3 тоже шаг но с ослаблением амплитуды и фазовым сдвигом... И так до тех пор пока не попадет в область 4.. записали полученную амплитуду (видимо тоже нужна постобработка дабы одно значение расширить на всю линию сопряжения областей 1 и 4, да еще учесть направление)... следующий фотон.... и так далее

Кто чnо скажет, особенно из тех участников . кто по работе рассчитывает резонаторы ускорителей частиц.

Или такой метод будет иметь низкую скорость сходимости

[zykov]

pppppppo_98 в сообщении #1535987 писал(а):

Или такой метод будет иметь низкую скорость сходимости

Подозреваю, что да.
Зачем Монте Карло, если всё можно напрямую посчитать?
Тем более, если задача 2D, то на сетке очень быстро всё это посчитать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Физика»
Причина переноса: это совершенно нормальная физика.

[pppppppo_98]

zykov в сообщении #1535988 писал(а):

pppppppo_98 в сообщении #1535987 писал(а):

Или такой метод будет иметь низкую скорость сходимости

Подозреваю, что да.
Зачем Монте Карло, если всё можно напрямую посчитать?
Тем более, если задача 2D, то на сетке очень быстро всё это посчитать.

Ну дык мне в принципе поле нужно только на маленьком кусочке границы, а не на всей области... Ну второй вопрос если считать поле на всей области - а как затем считать коэффициент отражения? какое краевое услолвие будет на месте ввода волновода в резонатор?

[zykov]

pppppppo_98 в сообщении #1535992 писал(а):

какое краевое услолвие будет на месте ввода волновода в резонатор?

Так на вскидку не скажу, но должно быть стандартное условие.

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1535987 писал(а):

Область 4 - волновод (размеры его малы по сравнению с длиной волны

Знаете ли вы, что такое критическая длина волны у волновода?