Выразить координаты точек через зависимость от угла.

[KXCompare]

Доброго времени суток.
Задача вроде бы не сложная, но поставила в тупик.

Дано:
1. Координата точки $A(0; 0)$
2. Координата точки $C(0; y_C)$
3. Длины $AB, CO, DO, CD$
4. Угол $\angle CDO$ - прямой
5. $DL=\frac{3}{5}DO$
6. Некоторый угол $\theta=\theta(t)$, на который поворачивается отрезок $AB$

Нужно найти выразить координаты точек $D, L, O, B$ через угол $\theta$.

Например, для точки $B$ все предельно просто:
$x_B=AB\cos(\theta)$
$y_B=AB\sin(\theta)$

Но что делать с остальными точками?

[zykov]

KXCompare в сообщении #1535982 писал(а):

Длины $AB, CO, DO, CD$

Длины $CO, DO, CD$ связаны по Пифагору и не могут быть независимо заданны.

-- 23.10.2021, 00:29 --

KXCompare в сообщении #1535982 писал(а):

Но что делать с остальными точками?

Можно принять угол между $CD$ и осью $y$ как параметр.
Через него выразить точки $D, O, L$.
Потом можно получить уравнение из связи "$B$ лежит на $DO$", из которого найти этот угол.

[Pphantom]

Попробовать ввести какой-то дополнительный параметр. Ну например, выбрать в качестве дополнительного параметра угол между отрезком $CD$ и осью $x$. Через него и известные координаты $C$ записываются координаты $D$, поскольку угол при этой вершине прямой и известны стороны прямоугольного треугольника, то легко находятся координаты $O$, после чего решается уравнение, представляющее собой условие, что точка $B$ лежит на отрезке $DO$, и из него находится угол, введенный в начале решения.

Это явно не единственный способ (и не факт, что самый изящный), но вполне реализуемый.

P.S. Да, уже опередили. Ну что ж, поскольку предлагаемые способы почти идентичны, то, наверное, это и требуется.

[KXCompare]

zykov в сообщении #1535983 писал(а):

-- 23.10.2021, 00:29 --
Можно принять угол между $CD$ и осью $y$ как параметр.
Через него выразить точки $D, O, L$.
Потом можно получить уравнение из связи "$B$ лежит на $DO$", из которого найти этот угол.

Попробовал так сделать. В таком случае координаты для точки $D$ определяются как:

$x_D=CD\sin(\delta)$

$y_D=CD\cos(\delta)+y_C$

Для точки $O$:

$x_O=x_D+DO\cos(\delta)$

$y_O=y_D+DO\sin(\delta)$

$$\frac{x-CD\sin(\delta)}{DO\cos(\delta)}$$

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки $D$ и $O$:

$$\frac{x-x_D}{x_O-x_D}=\frac{y-y_D}{y_O-y_D}$$

$$\frac{x-CD\sin(\delta)}{DO\cos(\delta)}=\frac{y-CD\cos(\delta)-y_C}{DO\sin(\delta)}$$

Подставим в получившееся уравнение прямой координаты для точки $B$:

$$\frac{AB\cos(\theta)-CD\sin(\delta)}{DO\cos(\delta)}=\frac{AB\sin(\theta)-CD\cos(\delta)-y_C}{DO\sin(\delta)}$$

$$AB \cdot DO \cos(\theta) \sin(\delta)-CD \cdot DO \sin^2(\delta)=AB \cdot DO \sin(\theta) \cos(\delta) - CD \cdot DO \cos^2(\delta)-y_c \cdot DO \cos(\delta)$$

$$CD \sin^2(\delta)-AB\cos(\theta)\sin(\delta)+AB\sin(\theta)\cos(\delta)-CD \cos^2(\delta)-y_c \cos(\delta)=0$$

В итоге получим:

$$2CD \sin^2(\delta)-AB\sin(\delta - \theta)-y_c \cos(\delta)-CD=0$$

Из этого уравнения как-то можно выразить угол $\delta$? Непонятно, как решить такое уравнение.

[Pphantom]

KXCompare в сообщении #1536181 писал(а):

$y_D=CD\cos(\delta)+y_C$

Уже очевидная ошибка в знаке - первый член должен быть отрицательным.

KXCompare в сообщении #1536181 писал(а):

$$\frac{x-CD\sin(\delta)}{DO\cos(\delta)}$$

Что это было?

[KXCompare]

Pphantom в сообщении #1536193 писал(а):

Уже очевидная ошибка в знаке - первый член должен быть отрицательным

Да, там потерян минус. Но даже с учетом этих изменений

$$CD \sin^2(\delta)-AB\cos(\theta)\sin(\delta)+AB\sin(\delta)\cos(\theta)+CD\cos^2(\delta)-y_C\cos(\delta)=0,$$

что приводит к уравнению

$$CD-AB\sin(\delta-\theta)-y_C\cos(\delta)=0,$$

которое хоть и выглядит проще, но как его решать тоже непонятно.

[Pphantom]

KXCompare в сообщении #1536197 писал(а):

которое хоть и выглядит проще, но как его решать тоже непонятно.

Разложить синус разности, выразить косинус через синус (или наоборот) и решить получившееся квадратное уравнение?

[INGELRII]

Привести уравнение к виду $P \sin \delta + Q \cos \delta = R$, где $P,Q,R$ - всё, что не содержит в себе дельту. Это уравнение уже стандартное школьное, просто с вычурными коэффициентами.