Корректность применения измененной формулы интерполяции

[leetoo12]

Здравствуйте, уважаемые математики! По долгу работы столкнулся со следующей проблемой:
Есть таблица (связана с водоснабжением) в которой по горизонтали протяженность труб, а по вертикали мощность оборудования, на пересечении количество персонала, которое необходимо, чтобы все это обслуживать.

Таблица:


Проблема в том, что значения как по вертикали, так и по горизонтали и в самом пересечении имеют "разброс". т.е. понятно, что при максимуме / минимуме и по горизонтали и по вертикали мы просто берем, соответственно, максимальное / минимальное значение на пересечении, но что делать если значения находятся где-то в этих промежутках?

Для себя я свел все к следующей модификации формулы линейной интерполяции:

$Z = z_1 + (z_2 - z_1) \cdot \frac{X \cdot Y - x_1 \cdot y_1}{x_2 \cdot y_2 - x_1 \cdot y_1}

где: $Z$ - искомое значение численности работников в промежутке от $z_1$ до $z_2$
$z_1, z_2$ - минимальное и максимальное значение на пересечении столбцов и строк
$x_1, y_1$ - минимальные значения границ по вертикали и горизонтали
$x_2, y_2$ - максимальные значения границ по вертикали и горизонтали
$X, Y$ - входные значения для интерполяции

Т.е. в моем понимании мы перемножаем максимальные и минимальные границы, и исходные данные, чтобы получить единое пространство, и в нем найти искомое значение $Z$.

Например при мощности $X = 40$ Гкал/ч и протяженности $Y = 150$ км формула примет следующий вид:

$Z = 3 + (4 - 3) \cdot \frac{40 \cdot 150 - 16 \cdot 101}{50 \cdot 300 - 16 \cdot 101} = 3 + \frac{4384}{13384} = 3,327555$

Собственно проблема заключается в том, что меня навязчиво преследует мысль о том, что я сделал лажу, и так нельзя, но я ума не приложу что в этой формуле не так, пограничные значения формула определяет безошибочно.
Понимаю, что скорее всего есть ошибки и написано безграмотно, с математической точки зрения, прошу понять, что математика для меня – дремучий лес, в котором видны просветы школьной алгебры и начал анализа из университета и простить меня за это.

Оцените пожалуйста правильность моей гипотезы, если она не верна направьте меня в нужный раздел математики, или предложите свое решение, любой помощи, критике – буду рад, как слон, т.к. сам уже голову сломал.

P.S. Искомое значение людей $(Z)$ может быть не целым числом.

[Pphantom]

leetoo12 в сообщении #1535545 писал(а):

Собственно проблема заключается в том, что меня навязчиво преследует мысль о том, что я сделал лажу, и так нельзя, но я ума не приложу что в этой формуле не так, пограничные значения формула определяет безошибочно.

А почему, собственно, "нельзя"? У вас же нет никакого конкретного условия или алгоритма, который требуется реализовать (кроме пограничных значений), так что то, что сделали - то и правильно.

Иначе надо задаться какими-то дополнительными ограничениями.

[leetoo12]

Цитата:

А почему, собственно, "нельзя"? У вас же нет никакого конкретного условия или алгоритма, который требуется реализовать (кроме пограничных значений), так что то, что сделали - то и правильно.

Иначе надо задаться какими-то дополнительными ограничениями.

Спасибо, что ответили.

Просто, исходя из того, что первоначальная формула - линейная интерполяция, я подставил значения, которые ровно посередине интервалов (условно: обе нижние границы области – $100$, верхние – $200$, а значения для интерполяции – $150$) и при этом предположил, что и полученное значение в интервале от $3$ до $4 $ тоже должно быть посередине, т.е. $3,5$. Формула же выдала мне $3,417$$$. Поэтому я не понимаю правильно ли она работает.

[rascas]

leetoo12 в сообщении #1535545 писал(а):

Проблема в том, что значения как по вертикали, так и по горизонтали и в самом пересечении имеют "разброс". т.е. понятно, что при максимуме / минимуме и по горизонтали и по вертикали мы просто берем, соответственно, максимальное / минимальное значение на пересечении, но что делать если значения находятся где-то в этих промежутках?

Возьмём граничное значение протяжённости сети, например: $Y=300$ км.

Для граничных значений мощности оборудования $50, 300, 600, 900, 1200, ...$
Нам известны точные значения численности персонала $4, 5, 6, 7, 8, ...$

Возьмём, средние в промежутке, значения мощности оборудования: $175, 450, 750, 1050, ...$
По вашему мнению должны ли получатся такие значение численности персонала: $4.5, 5.5, 6.5, 7.5$ ?
Если да, то ваша формула не верна.

[Pphantom]

leetoo12 в сообщении #1535570 писал(а):

Поэтому я не понимаю правильно ли она работает.

На самом деле вы не понимаете причинно-следственные связи.

Если вы обязательно хотите добиться того, чтобы серединам интервалов соответствовало среднее значение, то имеющаяся формула не подходит и ее надо менять. Если это условие обязательным не является, то формула вполне пригодна для использования. Правильность работы формулы зависит не от какой-то абстрактной "математической правильности" или "неправильности", а от того, что вы хотите от нее получить. Поэтому ответ на вопрос про правильность можно будет дать только тогда, когда вы сформулируете полный список условий, которым формула должна удовлетворять.

Кроме этого, формулируя условия для формулы, стоит подумать о том, что результат - для последующего практического использования - должен быть еще и достаточно простым. Условий можно наложить много, но с немалой вероятностью окажется, что формула, которая всем им удовлетворяет, будет гигантской по размерам и, как следствие, практически бесполезной. Поэтому, например, о том же условии совпадения середин надо подумать, зачем оно вам надо. Если у этого есть какая-то объективная причина - хорошо, это основание. Если же это просто кажется "более правильным" без определенных оснований - забудьте, усложнение результата того не стоит.

[alisa-lebovski]

Мне это напомнило мультфильм про "полтора землекопа".

https://youtu.be/ICqPUwOGnxw

Если Вы получаете дробное число людей, надо еще решить, как Вы будете его округлять для практического использования, в большую или меньшую сторону, или по общим правилам округления. Потому что если решите округлять в большую или меньшую сторону, то получается ли $3.5$ или $3.417$, вообще не важно.

[leetoo12]

Цитата:

Для граничных значений мощности оборудования $50, 300, 600, 900, 1200, ...$
Нам известны точные значения численности персонала $4, 5, 6, 7, 8, ...$

Возьмём, средние в промежутке, значения мощности оборудования: $175, 450, 750, 1050, ...$
По вашему мнению должны ли получатся такие значение численности персонала: $4.5, 5.5, 6.5, 7.5$ ?
Если да, то ваша формула не верна.

rascas, спасибо за Ваш ответ.

Цитата:

Мне это напомнило мультфильм про "полтора землекопа".

https://youtu.be/ICqPUwOGnxw

Если Вы получаете дробное число людей, надо еще решить, как Вы будете его округлять для практического использования, в большую или меньшую сторону, или по общим правилам округления. Потому что если решите округлять в большую или меньшую сторону, то получается ли $3.5$ или $3.417$, вообще не важно.

alisa-lebovski, округление, бесспорно важно, оно будет в большую сторону, но таблица, подобная той, что я привел в примере, не одна, и округление пройдет уже когда все "землекопы" будут посчитаны, на данном этапе мне нужно было убедиться, что метод, который я использую, по крайней мере, не ошибочен.

Цитата:

На самом деле вы не понимаете причинно-следственные связи.

Если вы обязательно хотите добиться того, чтобы серединам интервалов соответствовало среднее значение, то имеющаяся формула не подходит и ее надо менять. Если это условие обязательным не является, то формула вполне пригодна для использования. Правильность работы формулы зависит не от какой-то абстрактной "математической правильности" или "неправильности", а от того, что вы хотите от нее получить. Поэтому ответ на вопрос про правильность можно будет дать только тогда, когда вы сформулируете полный список условий, которым формула должна удовлетворять.

Кроме этого, формулируя условия для формулы, стоит подумать о том, что результат - для последующего практического использования - должен быть еще и достаточно простым. Условий можно наложить много, но с немалой вероятностью окажется, что формула, которая всем им удовлетворяет, будет гигантской по размерам и, как следствие, практически бесполезной. Поэтому, например, о том же условии совпадения середин надо подумать, зачем оно вам надо. Если у этого есть какая-то объективная причина - хорошо, это основание. Если же это просто кажется "более правильным" без определенных оснований - забудьте, усложнение результата того не стоит.

Pphantom, спасибо за ЛикБез.
Не подскажите раздел математики, в котором стоило бы проводить изыскания по этому вопросу? Мне действительно следовало бы
подтянуть формулу под условие совпадения середин, если она получится слишком громоздкой – откачусь назад к уже имеющейся.

[Pphantom]

leetoo12 в сообщении #1535583 писал(а):

Не подскажите раздел математики, в котором стоило бы проводить изыскания по этому вопросу? Мне действительно следовало бы подтянуть формулу под условие совпадения середин, если она получится слишком громоздкой – откачусь назад к уже имеющейся.

Вычислительная математика, более точно - как раз теория интерполяции.

Собственно, сделать это не так уж сложно, описание одного из простейших вариантов можно посмотреть хотя бы тут. Но, честно говоря, кажется, что уже имеющийся вариант вполне достаточен: точность данных, которые вы используете, явно такова, что подойдет, вообще говоря, примерно любой результат, не выходящий за пределы граничных значений.

P.S. Кстати, для цитирования собеседников лучше выделить нужный участок сообщения и нажать кнопку "вставка" в правом нижнем углу этого сообщения. Получится цитата вместе со ссылкой на то, кто и где это писал.

[leetoo12]

Pphantom в сообщении #1535585 писал(а):

Вычислительная математика, более точно - как раз теория интерполяции.

Собственно, сделать это не так уж сложно, описание одного из простейших вариантов можно посмотреть хотя бы тут
. Но, честно говоря, кажется, что уже имеющийся вариант вполне достаточен: точность данных, которые вы используете, явно такова, что подойдет, вообще говоря, примерно любой результат, не выходящий за пределы граничных значений.

Спасибо, пойду постигать

Pphantom в сообщении #1535585 писал(а):

P.S. Кстати, для цитирования собеседников лучше выделить нужный участок сообщения и нажать кнопку "вставка" в правом нижнем углу этого сообщения. Получится цитата вместе со ссылкой на то, кто и где это писал.

Не знал, исправлюсь.

[rascas]

leetoo12 в сообщении #1535583 писал(а):

Мне действительно следовало бы подтянуть формулу под условие совпадения середин

Попробуйте эту формулу: $Z = z_1 + (z_2 - z_1) \left( \frac{X - x_1 }{x_2 - x_1 } \right) \left( \frac{Y - y_1}{y_2 - y_1} \right)$

Эту формулу я составил на основании пропорций (где то пятый класс школы).

[alisa-lebovski]

rascas в сообщении #1535590 писал(а):

Эту формулу я составил на основании пропорций (где то пятый класс школы).

Но если обе переменные на середине, то середины по значению не будет. Только по бокам середины.

[mihiv]

$Z=z_1+\dfrac {z_2-z_1}2\left (\dfrac {X-x_1}{x_2-x_1}+\dfrac {Y-y_1}{y_2-y_1}\right )$
Так выполняется условие середины.

[rascas]

mihiv в сообщении #1535603 писал(а):

$Z=z_1+\dfrac {z_2-z_1}2\left (\dfrac {X-x_1}{x_2-x_1}+\dfrac {Y-y_1}{y_2-y_1}\right )$
Так выполняется условие середины.

Но пропало выполнение условия "середины" по "бокам"

$Y=y_2$

$X=\frac{x_2+x_1}{2}$

$Z \ne \frac{z_2+z_1}{2}$

На мой взгляд правильнее что бы была "середина" по "бокам".

[alisa-lebovski]

Ну вот, надо выбирать, что хотите - или середина в центре или по бокам.