Теорема Стокса

[barmale-y]

Иммет ли аналог на плоскости теорема Стокса, например, в таком виде [1, с.401]
\iint_{\Sigma} d{\bf S} \times \nabla U = \oint_L d {\bf r} U,
где U - скалярная функция.

Т.е. можно ли построить аналог в к-м \Sigma - кривая на плоскости а не поверхность в пространстве.


[1] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М. Наука, 1986

[Brukvalub]

См. ф-лу Грина.

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

См. ф-лу Грина.

но формула Грина представляет собой несколько другой частный случай. В ней \Sigma плоская площадь. А мне нужно чтобы \Sigma представляла кривую на плоскости.

[Brukvalub]

barmale-y в сообщении #153417 писал(а):

А мне нужно чтобы \Sigma представляла кривую на плоскости.

И L - тоже кривая? Непонятно...

[ewert]

а других аналогов и не бывает. Что формула Грина, что трёхмерная Стокса -- всего лишь аналог формулы Ньютона-Лейбница для одномерного случая. (И многомерная Стокса -- тож)

[Brukvalub]

Конечно, если векторное поле потенциально в области, то криволинейный интеграл от него по кривой, лежащей в этой области, равен разности значений потенциала на концах кривой.
Только далеко не всякое поле потенциально...

[ewert]

а других аналогов и не бывает. Что формула Грина, что трёхмерная Стокса -- всего лишь аналог формулы Ньютона-Лейбница для одномерного случая. (И многомерная Стокса -- тож)

Да, и кстати. Не стоит забывать, что формула Грина -- всего лишь частный случай формулы Стокса для случая, когда область расположена в плоскости XOY. (Собственно, из этих соображений трёхмернай Стокс наиболее разумно и выводится.)

[barmale-y]

ewert писал(а):

а других аналогов и не бывает. Что формула Грина, что трёхмерная Стокса -- всего лишь аналог формулы Ньютона-Лейбница для одномерного случая. (И многомерная Стокса -- тож)

Да, и кстати. Не стоит забывать, что формула Грина -- всего лишь частный случай формулы Стокса для случая, когда область расположена в плоскости XOY. (Собственно, из этих соображений трёхмернай Стокс наиболее разумно и выводится.)

Спасибо, за все ответы! Полностью согласен. А если U потенциал, то чему равен интеграл
\int_{0}^{L} {\bf n} \times \nabla U dl = ?

Понятно, что
\int_{0}^{L} \left( \nabla U , {\bf dl} \right)= \int_0^L \frac{\partial U}{\partial l}dl =\int_0^L dU = U(L)-U(0),
но это выражение не совсем плоский аналог теоремы Стокса.

[redhat]

barmale-y писал(а):

ewert писал(а):

а других аналогов и не бывает. Что формула Грина, что трёхмерная Стокса -- всего лишь аналог формулы Ньютона-Лейбница для одномерного случая. (И многомерная Стокса -- тож)

Да, и кстати. Не стоит забывать, что формула Грина -- всего лишь частный случай формулы Стокса для случая, когда область расположена в плоскости XOY. (Собственно, из этих соображений трёхмернай Стокс наиболее разумно и выводится.)

Спасибо, за все ответы! Полностью согласен. А если U потенциал, то чему равен интеграл
\int_{0}^{L} {\bf n} \times \nabla U dl = ?

Понятно, что
\int_{0}^{L} \left( \nabla U , {\bf dl} \right)= \int_0^L \frac{\partial U}{\partial l}dl =\int_0^L dU = U(L)-U(0),
но это выражение не совсем плоский аналог теоремы Стокса.

выучите тему об интегрировании диф. форм по учебнику Зорича хотя-бы, и все эти вопросы отпадут сами, архаичная терминология тем и плоха, формул много сути не видно

[Brukvalub]

barmale-y в сообщении #153450 писал(а):

Спасибо, за все ответы! Полностью согласен. А если U потенциал, то чему равен интеграл
\int_{0}^{L} {\bf n} \times \nabla U dl =?

Сначала хорошо бы договориться, как нужно понимать такой интеграл: криволинейный интеграл первого рода от вектора? Плоский (двумерный) криволинейный интеграл второго рода от вектора, который этой плоскости ортогонален?

[barmale-y]

redhat писал(а):

выучите тему об интегрировании диф. форм по учебнику Зорича хотя-бы, и все эти вопросы отпадут сами, архаичная терминология тем и плоха, формул много сути не видно

Не претендую на абсолютное понимание Зорича (приходится самообучение совмещать с реальными боевыми действиями ...). Но в части II, на странице приводится сводка формул, в которых рассм. и формула Ньютона-Лейбница и формула Стокса. Но формуле Стокса в Зориче применяется к векторной функции а мне нужно к скалярной.

В терминологии я здесь никого не переплюну но рискну спросить еще разок.

Интеграл который я пытаюсь найти можно записать так
\int_L \left( grad U , {\bf n} \right) dl = \int_L \frac{\partial U}{\partial n} = ?
U - потенциал некоторого вектора скорости. Ну например вычислял для логарифма ln r_{NM} и получил разность арктангенсов путем интегрирования по частям. Здесь
M - точка наблюдения, N - точка перемещается по кривой L при интегрировании.

[Brukvalub]

Последних двух фраз ниасилил...

[barmale-y]

Brukvalub писал(а):

Последних двух фраз ниасилил... :oops:

I(M)=\int_L \left( grad_N U(M,N) , {\bf n}_N \right) dl_N = ?
U(M,N) - потенциал некоторого вектора скорости, (,) - скалярное произведение.

[ewert]

Это -- двумерный аналог поверхностного интеграла второго рода:

$$\int\nabla U\cdot\overrightarrow{dS}$$

. Сводится к обычному криволинейному интегралу второго рода

$$\int\overrightarrow V\cdot d\overrightarrow{r}$$

переобозначением $V_x=U'_y$, $V_y=-U'_x$. Ну а там уж формула Грина. Если, конечно, контур замкнут.

Это -- с одной стороны. Ну а с другой -- непосредственно Ваш интеграл двумерной формулой Остроградского-Гаусса сводится к двойному интегралу по внутренности контура от дивергенции градиента. Т.е. от лапласиана.