2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не произведение синусов
Сообщение11.10.2021, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5015
Нов-ск
Доказать, что
$$ \sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=\sqrt{505},$$
где суммирование по всем $\omega_i$ вида
$$ \omega = \pm \frac{1}{2020} \pm \frac{2}{2020} \pm \cdots \pm \frac{2019}{2020},$$
в которых количество знаков "плюс" чётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не прооизведение синусов
Сообщение11.10.2021, 17:43 


16/04/18
868
А если 2021?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не прооизведение синусов
Сообщение11.10.2021, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5015
Нов-ск
novichok2018 в сообщении #1534603 писал(а):
А если 2021?

Вот другое "если" : $\displaystyle \;\; \sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=\sqrt{n}, \;\;
 \omega = \pm \frac{1}{4n} \pm \frac{2}{4n} \pm \cdots \pm \frac{4n-1}{4n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не прооизведение синусов
Сообщение11.10.2021, 20:49 


18/09/21
669
Тут такая тонкость, что ноль "плюсов", это тоже чётное количество.
Для $n=1,2$ сошлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не прооизведение синусов
Сообщение12.10.2021, 13:23 


02/04/18
110
Наверное, я пошел сложным путем (хотя и элементарными преобразованиями), но все же:

(Оффтоп)

Обозначим $\omega'_i$ - числа вида $\pm \frac{1}{2020} \pm \frac{2}{2020} \pm \cdots \pm \frac{2017}{2020}$ с четным количеством плюсов, $\omega''_i$ - с нечетным. В дальнейшем учтем, что эти элементы однозначным образом разбиты на пары $\omega'_i=-\omega''_j$, и от суммирования по "двойному штриху" можно перейти к суммированию по "одинарному штриху" с заменой знака перед суммой.
Тогда $$ \sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=\sum_{\omega'_i} \left\sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\omega'_i+\frac{2018}{2020}+\frac{2019}{2020}\right) \right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\omega'_i-\frac{2018}{2020}-\frac{2019}{2020}\right) \right)  \right)+$$

$$ +\sum_{\omega''_i} \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\omega''_i+\frac{2018}{2020}-\frac{2019}{2020}\right) \right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\left(\omega''_i-\frac{2018}{2020}+\frac{2019}{2020}\right) \right) \right)$$

$$=\sum_{\omega'_i} 2\sin\left(\frac{\pi\omega'_i}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\left(2-\frac{3}{2020}\right) \right)  + \sum_{\omega''_i}2\sin\left(\frac{\pi\omega''_i}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{1}{2020}\right) =$$
$$=-2\sum_{\omega'_i}\left(\sin\left(\frac{\pi\omega'_i}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{3}{2020}\right)  + \sin\left(\frac{\pi\omega'_i}{2} \right) \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{1}{2020}\right) \right)=$$
$$=-4 \cdot\cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{1}{2020}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{2}{2020}\right) \sum_{\omega'_i}\left(\sin\left(\frac{\pi\omega'_i}{2} \right) \right)$$
Продолжая таким же образом, придем на следующем шаге к выражению
$$16 \cdot\cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{1}{2020}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{2}{2020}\right) \cdot\cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{3}{2020}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\frac{4}{2020}\right)\sum_{\tilde{\omega_i}}\left(\sin\left(\frac{\pi\tilde{\omega_i}}{2} \right) \right)$$
где $\tilde{\omega_i}$ - такая же сумма, но до дроби с 2015 в числителе.
После 1009 таких преобразований придем к
$$(-4)^{1009}\prod_{i=1}^{2018}\cos\left(\frac{\pi\cdot i}{2\cdot2020}\right)\sum_{\hat{\omega_i}}\left(\sin\left(\frac{\pi\hat{\omega_i}}{2} \right) \right)$$

Где $\hat{\omega_i}$ - все та же сумма, но ограниченная лишь одним слагаемым. То есть равна $\sin\left(-\frac{\pi}{2\cdot2020}\right)=-\cos\left(\frac{\pi\cdot2019}{2\cdot2020}\right)$.

Таким образом, $$\sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=2^{2018}\prod_{k=1}^{2019}\cos\left(\frac{\pi\cdot k}{2\cdot2020}\right)$$
Для общего случая, соответственно,

$$\sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=\frac{1}{2}\prod_{k=1}^{4n-1}2\cos\left(\frac{\pi\cdot k}{2\cdot4n}\right)$$
То есть, надо доказать, что $$\prod_{k=1}^{4n-1}2\cos\frac{k\pi}{8n}=2\sqrt{n}$$

(Оффтоп)

Запишем так: $$2\cos\frac{\pi}{4}\cdot\prod_{k=1}^{2n-1}\left(2\cos\frac{k\pi}{8n}\cdot2\cos\frac{(4n-k)\pi}{8n}\right)=\sqrt{2} \prod_{k=1}^{2n-1}\left( 4\cos\frac{k\pi}{8n}\sin\frac{k\pi}{8n}\right) =\sqrt{2} \prod_{k=1}^{2n-1}\left( 2\sin\frac{k\pi}{4n}\right)=$$

$$=\sqrt{2}\cdot2\sin\frac{\pi}{4}\cdot \prod_{k=1}^{n-1}\left( 2\sin\frac{k\pi}{4n}\cdot2\sin\frac{(2n-k)\pi}{4n}\right)=2\cdot \prod_{k=1}^{n-1}\left( 4\sin\frac{k\pi}{4n}\cos\frac{k\pi}{4n}\right)=2\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{2n}\right)$$

Новая цель: доказать
$$\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{2n}\right)=\sqrt{n}$$
Видно, что если мы заменим синусы на косинусы, то получится тот же ряд, но в обратном порядке. Перемножив два таких произведения...

Получим новое выражение, которое является табличным:
$$\prod_{k=1}^{n-1}\left(2\sin\frac{k\pi}{n}\right)=n$$
Но вывести его отдельно сходу не получилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Не произведение синусов
Сообщение12.10.2021, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5015
Нов-ск
Dendr в сообщении #1534702 писал(а):
Наверное, я пошел сложным путем (хотя и элементарными преобразованиями), но все же:
$$\sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=\frac{1}{2}\prod_{k=1}^{4n-1}2\cos\left(\frac{\pi\cdot k}{2\cdot4n}\right)$$

Да, отгадали, здесь именно произведение синусов
$$\sum_{\omega_i}\sin\left(\frac{\pi\omega_i}{2} \right)=2^{4n-2}\prod_{k=1}^{4n-1}\sin\left(\frac{\pi\cdot k}{2\cdot4n}\right),$$
что удобнее показать, превращая произведение в сумму:
$$2^2\sin(a)\sin(b)\sin(c) = \sin(-a-b-c)+\sin(-a+b+c)+\sin(a-b+c)+\sin(a+b-c)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Не произведение синусов
Сообщение13.10.2021, 12:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1508
москва
Обозначения: $S$- искомая сумма синусов, $N=4n,\omega _0=-\frac1N-\frac 2N-\cdots -\frac {N-1}N$.
Построим полином:$$P(x)=e ^{\frac {i\pi \omega _0}2}\prod \limits _{k=1}^{N-1}(x-e ^{\frac {i\pi k}N})\eqno (1)$$
Пусть $A$-сумма коэффициентов полинома при нечетных степенях $x$, а $B$- сумма коэффициентов при его четных степенях. Очевидно $P(1)=A+B, P(-1)=-A+B$. Кроме того понятно, что $S=\operatorname{Im} (A)$.
Учитывая, что $(1-e^{\frac {i\pi k}N})=e^{\frac {i\pi k}{2N}}(-2i)\sin \frac {\pi k}{2N}$, из (1) получим:$$P(1)=(-2i)^{N-1}\prod \limits _{k=1}^{N-1}\sin \frac {\pi k}{2N}=i\sqrt {N}$$Таким же образом из (1) найдем $P(-1)$. Очевидно это вещественное число, обозначим его $r$. Решая систему уравнений получим $A=-\frac r2+i\frac 12\sqrt {N}$ и, следовательно, $S=\frac 12\sqrt {N}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group