Цилиндрический конденсатор. ФЛФ II, з-ча 5-11.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

png писал(а):

5-11. Two long concentric conducting cylinders are insulated from each other and charged. Far from the ends, the inner cylinder has a net charge density of $+\lambda _1$, and the outher one a net charge density of $+\lambda _2$ coulombs per unit length. The inner cylinder has inner and outer radii $r_1$ and $r_2$, while the outer has radii $r_3$ and $r_4$. Find $\vec E(r)$ at a point near the middle (i.e., where end effects cab be neglected ) and just outside the outside cylinder. Find the potential difference between the two cylinders.

Describe qualitatively any changes in the fields and potentials if:
i. $r_1$ is decreased
ii. $r_2$ is increased
iii. the outside cross-section of the inner cylinder is made square with sides $2r_2$ (assuming $\sqrt{2} r_2 < r_3$)

Условие русское :

1965 писал(а):

5.11. Два длинных коаксиальных проводящих цилиндра заряжены так, что на далеком расстоянии от их концов на единицу длины внутреннего цилиндра приходится $+\lambda _1$ кулонов, а на единицу длины внеш- него цилиндра $+\lambda _2$ кулонов. Внутренний и внешний радиусы внутреннего цилиндра равны $r_1$ и $r_2$, a внешнего цилиндра равны $r_3$ и $r_4$. Найдите поле $\mathbf{E}(r)$ в точках, расположенных вблизи середины цилиндров (т. е. там, где краевыми эффектами можно пре- небречь). Определите разность потенциалов между цилиндрами. Опишите качественно, в какую сторону будут меняться напряженность поля и потенциал, если: 1) $r_1$ будет уменьшаться; 2) $r_2$ будет увеличиваться; 3) внешнцй контур сечения внутреннего цилиндра имеет форму квадрата со сторонами, равными $2r_2$ (при этом предполагается, что $\sqrt{2} r_2 < r_3$

Мое решение:
Используя рисунок 5–11:
$E = \sigma / \epsilon _0$.
Пусть на наружной поверхности малого цилиндра сосредоточено часть $\alpha$ общего заряда малого цилиндра, а на внутренней поверхности большого цилиндра - $\beta$ полного заряда большого цилиндра.
$E_1 = \tfrac{(1-\alpha)\lambda _1}{2\pi \epsilon_0 r_1}$

$E_2 = \tfrac{(\alpha)\lambda _1}{2\pi \epsilon_0 r_2}$

$E_3 = \tfrac{(\beta)\lambda _2}{2\pi \epsilon_0 r_3}$

$E_4 = \tfrac{(1-\beta)\lambda _2}{2\pi \epsilon_0 r_4}$

$E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$ - поле на поверхности цилиндров на соотв. расстояниях $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ от оси цилиндров.

Используя цилиндрическую гауссову поверхность высотой $\text{d}z$, заполняющую пространство между цилиндрами:
$E_2\cdot 2\pi r_2 \cdot \text{d}z - E_3\cdot 2\pi r_3 \cdot \text{d}z = 0$

$\beta \lambda _2 = \alpha \lambda _1$

Используя цилиндрическую гауссову поверхность высотой $\text{d}z$ внутри малого цилиндра:
$E_1\cdot 2\pi r_1 \cdot \text{d}z = 0$
Отсюда:
$\alpha = 1$
$\beta = \tfrac{\lambda _1}{\lambda _2} $
Поле между цилиндрами:
$E(r) = E_2 \tfrac {r_2}{r} = \tfrac{\lambda _1}{2\pi \epsilon_0 r} $

Поле снаружи большого цилиндра (направлено радиально вдоль оси $r$):
$E(r) = E_4 \tfrac {r_4}{r} = \tfrac{\lambda _2 - \lambda _1}{2\pi \epsilon_0 r} $

Это правильное решение?

[EUgeneUS]

Uchitel'_istorii в сообщении #1534413 писал(а):

Поле снаружи большого цилиндра (направлено радиально вдоль оси $r$):
$E(r) = E_4 \tfrac {r_4}{r} = \tfrac{\lambda _2 - \lambda _1}{2\pi \epsilon_0 r} $

Это неверно. В числителе должна стоять сумма плотностей заряда.

-- 09.10.2021, 19:43 --

Ответ на вопрос:

Uchitel'_istorii в сообщении #1534413 писал(а):

Найдите поле $\mathbf{E}(r)$ в точках, расположенных вблизи середины цилиндров

находится практически моментально. Исходя из двух известных фактов:
1. Если можно пренебречь краевыми эффектами, то цилиндрический заряженный слой не создает поле во внутренней области.
2. Внутри проводника электрическое поле ноль.

Идем от центра:
1. от центра до внутренней поверхности первого цилиндра поле ноль. Ему неоткуда взяться.
2. от внутренней поверхности первого цилиндра до его внешней поверхности поле ноль. Отсюда плотность зарядов на внутренней поверхности первого цилиндра тоже ноль.
3. из (2) следует, что весь заряд первого цилиндра на его внешней стороне.
4. Поле между цилиндрами - поле цилиндра с линейной плотностью зарядов $\lambda_1$
5. Между внутренней поверхностью второго цилиндра его внешней поверхностью поле ноль.
6. из (5) сразу следует, что на внутренней поверхности второго цилиндра линейная плотность зарядов $-\lambda_1$
7. из (6) сразу следует, что линейная плотность зарядов на внешней поверхности второго цилиндра $\lambda_1+\lambda_2$
8. А поле вне цилиндров - поле цилиндра с линейной плотностью заряда $\lambda_1+\lambda_2$

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

должна стоять сумма плотностей заряда.

Тогда $\beta <0$ , но должно быть $ 0 < \beta < 1$.

[EUgeneUS]

Uchitel'_istorii в сообщении #1534421 писал(а):

но должно быть $ 0 < \beta < 1$.

Кому должно?

И вот ещё что

Uchitel'_istorii в сообщении #1534413 писал(а):

$E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$ - поле на поверхности цилиндров на соотв. расстояниях $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ от оси цилиндров.

Если поверхность заряжена, то напряженность поля испытывает скачок. И говорить о напряженность на поверхности просто нельзя.
Можно говорить о напряженности поля вблизи поверхности, с той или другой стороны от неё.

Кроме того. Вы сначала определили зависимость поля от радиуса. А уже потом применяете теорему Гаусса. Странно это всё.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

Кроме того. Вы сначала определили зависимость поля от радиуса. А уже потом применяете теорему Гаусса. Странно это всё.

$E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$ определены из теоремы Гаусса (по рисунку 5–11). Единственное, что неясно, - в какую сторону направлять векторы поля. Изначально теорема Гаусса между цилиндрами была записана $E_2\cdot 2\pi r_2 \cdot \text{d}z + E_3\cdot 2\pi r_3 \cdot \text{d}z = 0$. Но, исходя из того, что $\beta$ - часть единицы (по определению), было решено изменить знак одного из полей $E_2$, $E_3$ . Как оказалось, неугаданный знак влияет на ответ. Но мы ж не знаем знак заранее.

[EUgeneUS]

Uchitel'_istorii
Предлагаю начать с самого начала.
1. Запишите теорему Гаусса
2. Вы знаете, как из теоремы Гаусса находится
а) поле равномерно заряженной нити или поле снаружи равномерно заряженного цилиндра?
б) поле внутри равномерно заряженного цилиндра?

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

1. Запишите теорему Гаусса

$ {\int \limits_\text{any closed} } E_n\,da = \frac{\text{sum of charges inside}}{\epsilon_0}\\ ^\text{surface S} $
(формула (4.34)).
$E_n$ - проекция поля на нормаль к поверхности $S$, следовательно позитивна для направления вектора наружу гауссовой поверхности.

Цитата:

а) поле равномерно заряженной нити или поле снаружи равномерно заряженного цилиндра?

Нужно окружить нить цилиндрической поверхностью высотой $\text{d}z$ радиуса $R$ . Поле нити и цилиндра на цилиндрической поверхности радиально и одинаково исходя из симметрии. Интеграл упрощается до вида:
$E\cdot 2\pi R \cdot \text{d}z = \lambda \text{d}z/ \epsilon_0 $

Цитата:

б) поле внутри равномерно заряженного цилиндра?

Это задача 5-2.
Нужно поместить цилиндрическую гауссову поверхность внутрь цилиндра равноудаленно от его торцов.
$-E\cdot 2\pi R \cdot \text{d}z = 0 $
Однако не факт, что поле не проходит через торцы гауссовой поверхности.
Попытался разделить цилиндр на нити и проинтегрировать поле . Был получен интеграл, который невозможно решить:
$E_x(x_P) = \tfrac{\sigma R}{\pi\epsilon_0}\int_{-R}^{R} \tfrac{x_P - x}{R^2 + x_P^2 - 2x_p x} \tfrac{1}{\sqrt{R^2 - x^2}}\text{d}x$
Mathcad показал ненулевое поле в точке $P$ вблизи внутренней поверхности цилиндра ($x_P \to R$):
PNG
PNG

[EUgeneUS]

1 и 2а верно.

По 2б.
Конечно, подразумевался бесконечный цилиндр. А раз он бесконечный, то система переходит в себя при отражении относительно плоскости, перпендикулярной оси, и относительно сдвигов вдоль оси. Отсюда
а) вектор напряженности не может иметь компоненты $z$ и $\varphi$.
б) А значит вектор напряженности направлен перпендикулярно оси цилиндра.
в) Далее теорема Гаусса и результат, что поле внутри цилиндра равно нулю.

(по задаче 5.2)

Фейнман предлагает рассматривать поле внутри очень длинного, но всё таки не бесконечного, цилиндра около его середины.
А также предлагает рассказать, чем результат отличается от результата для равномерно заряженного шара.
Скорее всего, это не подразумевает нахождения точного значения поля.
Можно несложно оценить порядок величины поля (точнее порядок величины $E_z$, $Oz$ - ось цилиндра) в центре длинного цилиндра. Оно будет равно точно нулю в центре цилиндра и много меньше, чем поле снаружи цилиндра вблизи середины середины.

И все таки, когда говорите о "напряженности поля на поверхности", уточняйте, пожалуйста, поле с какой стороны поверхности имеется в виду.

Таким образом, ход, план решения задачи должен быть таким.

1. Внутри полости внутреннего цилиндра поле ноль (см. выше)
2. Внутри металла внутреннего цилиндра поле ноль, так как металл.
3. Поле между цилиндрами создается только зарядом внутреннего цилиндра.
4. Поле внутри металла внешнего цилиндра создается зарядом на внутреннем цилиндре и индуцированным зарядом на внутренней поверхности внешнего цилиндра и оно равно нулю, так как металл.
5. Плотность заряда на внешней поверхности внешнего цилиндра определяется из заданной суммарной плотности заряда и найденной на прошлом шаге плотностью на внутренней поверхности внешнего цилиндра.
5. Поле вне цилиндров создается тремя заряженными соосными цилиндрическими поверхностями, плотности зарядов которых найдены.

[Uchitel'_istorii]

Так а куда направлять поле, если заведомо неизвестен знак заряда? - Всегда наружу гауссовой поверхности и всегда записывать проекцию с плюсом? Если несколько прилягающих гауссовых поверхностей, то поле направлять в одну сторону, и тогда проекции будут где-то с плюсом, где-то с минусом. Так?

[EUgeneUS]

Тут надо понять, что Вы подразумеваете под "гауссовой поверхностью".
Обычно, насколько понимаю, берется замкнутая поверхность, которая ограничивает некую область пространства.
А тогда с направлением нормали не возникает вопросов: нормаль направлена наружу.

[Uchitel'_istorii]

Цитата:

что Вы подразумеваете под "гауссовой поверхностью"

В данной задаче есть цилиндрическая гауссова поверхность вокруг малого цилиндра, и есть кольцевая цилиндрическая гауссова поверхность между цилиндрами. Эти поверхности соприкасаются.