Дифференцируемость на замыкании мн-ва

[denmanorwat]

Здравствуйте. Зачем давать следующее определение:
$f(x)$ дифференцируема на замыкании открытого множества $ G $, если:
1) $ f(x) $ непрерывна на $ \overline{G} $
2) Частные производные $ f(x) $ существуют на $ G $ и непрерывно продолжимы в $ \overline{G} $.
Можно же, например, определить дифференцируемость на замыкании мн-ва $ G $ как возможность представить приращение функции в линейном приближении не во всей окрестности точки $x_0$, а в пересечении этой окрестности с мн-ом $G$:
$\forall x \in U_{\delta}(x_0) \cap G\ f(x)-f(x_0) = df_{x_0}(\Delta x) + o(|\Delta x|) $

[ИСН]

Это не определение.

[denmanorwat]

ИСН
Почему? Обычное определение справедливо лишь для внутренних точек множества, а это определение обобщает дифференцируемость на предельные точки множества.

[Slav-27]

Дифференцируемость в точках, не являющихся внутренними точками области определения, мало кому интересна. Непрерывность нужна для оценок, например, если область ограничена, то из непрерывности следует существование максимума.

Я встречал несколько определений $C^k(\overline G)$ для области $G\subset\mathbb R^n$: это функции $f$ из $C^k(G)$, такие что

1. $\partial^\alpha f$ существуют на $G$ и продолжаются непрерывно на $\overline G$ для всех $|\alpha|\leqslant k$,
2. у любой $x\in \partial G$ есть открытая окрестность $U\subset \mathbb R^n$ и $C^k$-функция на $U$, совпадающая с $f$ на $U\cap G$,
3. есть открытая окрестность $H\supset\overline G$ и $C^k$-функция на $H$, ограничение которой на $G$ совпадает с $f$,
4. $f$ есть ограничение на $G$ $C^k$-функции на $\mathbb R^n$.

Хорошее упражнение -- проверить, какие из этих определений эквивалентны (спойлер: не все).