Исследование на экстремум в вырожденном случае

[мат-ламер]

Предположим, у нас есть многочлен от двух переменных, у которого степени членов лежат в промежутке от двух до четырёх. В качестве примера можно взять функцию $f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2$ . Предположим, что матрица вторых производных в нуле у нашего многочлена вырождена (как и в нашем примере). Есть ли какие-то общие методы исследовать нашу функцию на локальный минимум в нуле? Обычно пишут, что в таком случае нужно дополнительное исследование. Конкретно для приведённого примера можно показать, что локального минимума в нуле не будет. Но может есть какие-то общие процедуры?

-- Пн окт 04, 2021 20:17:22 --

Подозреваю, что в данном конкретном случае отсутствие локального минимума как-то связано с тем, что функцию можно разложить на произведение двух многочленов второй степени. Хотя матрица вторых производных неотрицательна. .

[ozheredov]

мат-ламер
У Вас смешная размерность. В этом случае достаточно из нуля рандомно пойти на небольшое расстояние туда-сюда раз этак $10 000$. Если одновременно найдутся два направления с приращениями разных знаков -- это оно.

P.S. Как тут ставить неразрывные пробелы? ))

[мат-ламер]

ozheredov в сообщении #1533918 писал(а):

Если одновременно найдутся два направления с приращениями разных знаков -- это оно.

А если нет?

[zykov]

Да, точки вида $y=2 x^2$ дают отрицательные значения в сколь угодно малой окрестности.

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1533917 писал(а):

Есть ли какие-то общие методы исследовать нашу функцию на локальный минимум в нуле?

Зачем для конкретной функции общие методы?
Вы что-то другое хотели спросить?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1533917 писал(а):

Подозреваю, что в данном конкретном случае отсутствие локального минимума как-то связано с тем, что функцию можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.

Это я ерунду написал не подумав. Многочлен четвёртой степени (пусть от двух переменных) всегда можно разложить на произведение многочленов второй степени.

Otta в сообщении #1533922 писал(а):

Зачем для конкретной функции общие методы?
Вы что-то другое хотели спросить?

Нет, пусть у нас функция неконкретна. Данный пример приведён просто для иллюстрации.

-- Пн окт 04, 2021 20:38:35 --

мат-ламер в сообщении #1533924 писал(а):

Многочлен четвёртой степени (пусть от двух переменных) всегда можно разложить на произведение многочленов второй степени.

Да, но в нашем случае оба множителя будут без свободного члена. То есть нулевая линия уровня будет проходить через нуль.

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1533924 писал(а):

Многочлен четвёртой степени (пусть от двух переменных) всегда можно разложить на произведение многочленов второй степени.

Если многочлены именно такого вида, раскладывайте по игрек.
Если какого-то другого - уточните класс.

[zykov]

Конкретно здесь можно сделать замену $y=2 x^2 - q$, тогда $f(x,q)=q^2-x^4$, откуда сразу видно отсутствие экстремума.
Можно попробовать обобщить на любой многочлен 4-ой степени.

[Red_Herring]

Допустим ƒ-я 2х переменных, и $\nabla(f)(0,0)=0$, $\operatorname{Hess} f(0,0)$ вырождена, но не $0$. Тогда $\partial_y^2 f(0,0)\ne 0$ (ну или по $x$) и $\partial_y f(x,y)=0\iff y=s(x)$. Минимум будет если выполнены 2 условия
1. $\partial_y^2 f(0,0) > 0$
2. $g(x):= f(x,s(x))$ имеет в $(0,0)$ минимум (очевидно, вырожденный).

Но если матрица 2х производных равна $0$, то все будет сложнее. Вообще, может стоит посмотреть многоугольник Ньютона

[nnosipov]

Ерунду написал.

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1533929 писал(а):

Допустим ƒ-я 2х переменных, и $\nabla(f)(0,0)=0$, $\operatorname{Hess} f(0,0)$ вырождена, но не $0$. Тогда $\partial_y^2 f(0,0)\ne 0$ (ну или по $x$) и $\partial_y f(x,y)=0\iff y=s(x)$. Минимум будет если выполнены 2 условия
1. $\partial_y^2 f(0,0) > 0$
2. $g(x):= f(x,s(x))$ имеет в $(0,0)$ минимум (очевидно, вырожденный).

Спасибо. Наверное не совсем понял. Пока понял так, что при удачном выборе функции s мы можем убедиться, что функция не имеет локального экстремума в нуле (что можно сделать в нашем случае). Можем ли мы с уверенностью убедиться, что функция имеет локальный минимум? Пока этот вопрос обдумываю.

[Padawan]

Если в проколотой окрестности стационарной точки $x_0$ квадратичная форма $d^2 f(x)$ положительно определена, то $x_0$ -- локальный минимум. Пример: $f(x,y)=x^4+y^4$.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1534059 писал(а):

Если в проколотой окрестности стационарной точки $x_0$ квадратичная форма $d^2 f(x)$ положительно определена, то $x_0$ -- локальный минимум.

А легко ли проверить это условие? Это ведь тоже нужно неравенства доказывать. Можно дать более конструктивные достаточные условия (строгого) локального минимума, но, как я понял, хочется иметь алгоритм, позволяющий выяснить, является ли данная точка локальным минимумом.

[Red_Herring]

мат-ламер в сообщении #1534058 писал(а):

Пока понял так, что при удачном выборе функции $s$

Какой выбор? Вот пример:
$f(x,y) = y^2 +2p(x)y +q(x)$. Поскольку $f_{yy}(0)>0$ то это не может быть максимум. $f_y(x,y)=0 \iff y= s(x):=-p(x)$. Тогда $g(x)= q(x) - p^2(x)$. Если эта функция имеет в $0$ локальный минимум, то получаем локальный минимум $f(x,y)$, если нет--то какой-то вариант седла (вырожденного и странного). В Вашем примере $g(x) =-x^4$, т.е. локальный макцсимум $g(x)$, и нет для $f(x,y)$. Если $f(x,y) = y^2 +2х^2y +х^3$, то $g(x)= x^3-x^4$, и опять-таки нет локального минимума. А для $f(x,y) = y^2 +6х^2y +10х^4$ локальный минимум будет.

Конечно, для более сложной зависимости от $y$ решить $f_y(x,y)=0$ будет сложно.

[ozheredov]

zykov в сообщении #1533921 писал(а):

точки вида $y=2 x^2$ дают отрицательные значения в сколь угодно малой окрестности

Вероятность попасть на множество меры нуль (кривую $y=2 x^2$) -- это примерно нуль. А я говорил про 10 000 испытаний.

мат-ламер в сообщении #1533920 писал(а):

А если нет?

Тогда с определенным уровнем значимости можно принять гипотезу о том, что это min или max.
Впрочем, Вас по-видимому интересуют аналитические методы для функций очень определенного класса. В этом случае моя реплика мимо.