Определение локального экстремума

[Arkadij]

Почему в определении точки локального экстремума требуется, чтобы она была внутренней точкой области определения функции?
Имеет ли это какое-то практическое значение? Какие известные теоремы перестанут работать?
Например, теорема Ферма это спокойно переживет.

Есть ли источники, где допускается, что точка локального экстремума может быть граничной?

Например, в Википедии условие, что в $x_0$ локальный максимум:
$\forall x\in X\ d_X(x,x_0)<\varepsilon\Rightarrow f(x_0)\geq f(x),$
т.е. допускаются и граничные точки.

У меня пока сложилось мнение, что просто так повелось и ничего ужасного не случится, если будем считать, что на конце отрезка функция имеет локальный экстремум, а значит множество глобальных экстремумов будет подмножеством локальных экстремумов.


Заранее спасибо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки ответа на вопросы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Arkadij в сообщении #1533393 писал(а):

Например, теорема Ферма это спокойно переживет.

Не переживет.

Arkadij в сообщении #1533393 писал(а):

Почему в определении точки локального экстремума требуется, чтобы она была внутренней точкой области определения функции?

Не требуется.

Arkadij в сообщении #1533393 писал(а):

Имеет ли это какое-то практическое значение?

Да.

Arkadij в сообщении #1533393 писал(а):

Есть ли источники, где допускается, что точка локального экстремума может быть граничной?

Запрета нет.

[Arkadij]

Otta
Вы если решили ответить, то уж как-то определитесь.
То требование, что точка внутренняя критично, то не требуется.

[kmpl]

Arkadij
Посмотрите на функцию $y=x$, определенную на отрезке от нуля до единицы. Точка $x=1$ является точкой экстремума. Функция в ней дифференцируема, но равна ли там производная нулю?

[Arkadij]

kmpl

Да, это хороший пример, спасибо.

[Otta]

Arkadij в сообщении #1533459 писал(а):

То требование, что точка внутренняя критично, то не требуется.

Где Вы увидели противоречие? В определении требование, чтобы точка была внутренней, не требуется. Для теоремы Ферма оно важно. Но и оговаривается там явно.
Определитесь с вопросами.

[Arkadij]

Otta

В каком смысле не требуется, чтоб точка была внутренней? В большинстве источниках требуется.
И сейчас речь не идёт о том, что каждый имеет право определять понятие так, как ему удобно и от этого играть.
Вопрос был именно в том какую философию несет это дополнительное требование. В чем определение с требованием, чтоб точка была внутренней, выигрывает у определения без этого требования.

В Ферма да, этот момент обычно отдельно обговаривается, поэтому я и сказал, что для данной теоремы какое из определений выбирать значения не имеет.

[Dan B-Yallay]

Arkadij в сообщении #1533616 писал(а):

В каком смысле не требуется, чтоб точка была внутренней? В большинстве источниках требуется.

Зорич:

Вложение:

zor.jpg [ 80.82 Кб | Просмотров: 0 ]

Ильин-Позняк:

Вложение:

ip.jpg [ 91.67 Кб | Просмотров: 0 ]

Кудрявцев:

Вложение:

kudr.jpg [ 96.86 Кб | Просмотров: 0 ]

-- Пт окт 01, 2021 16:07:38 --

Arkadij в сообщении #1533616 писал(а):

Вопрос был именно в том какую философию несет это дополнительное требование. В чем определение с требованием, чтоб точка была внутренней, выигрывает у определения без этого требования.

А кто именно требует? В каких учебниках?

[tolstopuz]

Dan B-Yallay в сообщении #1533618 писал(а):

А кто именно требует? В каких учебниках?

В ваших цитатах из Ильина-Позняка и Кудрявцева прямо написано, что функция определена всюду в некоторой окрестности (относительно $\mathbf{R}$), то есть точка не может быть граничной. А у Зорича и в третьем издании двухтомника Кудрявцева может, потому что там берется окрестность относительно области определения функции.

Более того, в первом томе трехтомника Кудрявцев определяет локальный экстремум только во внутренней точке, а в третьем томе дает новое определение для $\mathbf{R}^n$, допускающее и граничные точки.

А вот Ильин-Позняк даже для функций нескольких переменных сначала рассматривают только внутренние точки локального экстремума, но через 20 страниц дают очередное новое определение для выпуклого множества, допускающее и граничные точки (видимо, им нужна связная окрестность, но они не хотят углубляться в топологию).

[Otta]

Arkadij в сообщении #1533616 писал(а):

В каком смысле не требуется, чтоб точка была внутренней? В большинстве источниках требуется.

Ну вот снова. Где требуется? В определении? Тогда если то, что точка внутренняя, встроено в определение, зачем

Arkadij в сообщении #1533616 писал(а):

В Ферма да, этот момент обычно отдельно обговаривается,

?
Давайте уж, действительно, каким источником Вы пользуетесь?

[zykov]

Честно говоря тоже впервые слышу, что локальный экстремум должен быть во внутренней точке.
Вот на википедии пишут: Maxima and minima.

Цитата:

If the domain $X$ is a metric space, then $f$ is said to have a local (or relative) maximum point at the point $x^{\ast}$, if there exists some $\varepsilon > 0$ such that $f(x^{\ast}) \geq f(x)$ for all $x$ in $X$ within distance $\varepsilon$ of $x^\ast$.

Да и сам я смутно помню, что когда давно проходили локальные экстремумы, то поиск разбивался на несколько случаев: внутренние точки с нулевой производной, негладкие внутренние точки, точки на границе (там тоже гладкие/негладкие).

[Dan B-Yallay]

tolstopuz в сообщении #1533625 писал(а):

В ваших цитатах из Ильина-Позняка и Кудрявцева прямо написано, что функция определена всюду в некоторой окрестности (относительно $\mathbf{R}$), то есть точка не может быть граничной.

Да, Вы правы, я упустил, что по стандартному определению, окрестность -- это открытый интервал, содержащий $x$.

-- Пт окт 01, 2021 22:47:30 --

tolstopuz в сообщении #1533625 писал(а):

А вот Ильин-Позняк даже для функций нескольких переменных сначала рассматривают только внутренние точки локального экстремума, но через 20 страниц дают очередное новое определение для выпуклого множества, допускающее и граничные точки

Наверное эти сложности зачем-то нужны, но я не помню. Ради освежения памяти, присоединяюсь к вопросу:

Arkadij в сообщении #1533616 писал(а):

В чем определение с требованием, чтоб точка была внутренней, выигрывает у определения без этого требования

[Red_Herring]

В обычном начальном курсе анализа (1-2 год) понятие окрестности вводится только в $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$ и чтобы не заморачиваться очевидно отделяют экстремум внутри и экстремум на границе. Т.б. что когда говорят, скажем, про условие минимума на правом конце, не упоминают что производная должна быть неположительна. И аналогичные условия для функций многих переменных. Поэтому я бы сказал, что это сделано для прост оты, особенно если речь идет о Calculus I,II.

Однако когда мы доходим до более сложных материй, типа вариационного исчисления с односторонними ограничениями или задач управления, недостаток такого подхода очевиден и все переопределяется с самого начала (и я в таких случаях обязательно обсуждаю "детские экстремумы" из 1го--2го курса. Следует учесть, что очень малая доля студентов доходит до этого уровня.

Т.ч. мой ответ: по тем же причинам, что теории Дедекинда нематематиков обычно не учат вообще, а математиков несколько позднее, чем было бы "логично".