Может чем-то поможет вот эта статья (не сама, а ссылками):
МЕХАНИКА СЫПУЧИХ СРЕД ПРИ ВИБРАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ: МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. В
вики тоже ссылок много (правда большинство о другом).
В смысле неплохо бы проверить что уже было сделано перед построением своей теории ... Хотя бы даже чтобы сверять своё и
правильное.
Ну и озвученная задача мне что-то кажется неподъёмной (для форумного формата), сошлюсь на это:
Теоретическое описание гранулированых материалов
...
Итак, явления существуют, и потому возникает закономерный вопрос: как они могут быть теоретически выведены из микроскопической динамики отдельных песчинок? Построена ли теория, описывающая и объясняющая поведение гранулированных материалов?
Оказывается, нет. Несмотря на то, что в последнее десятилетие появилось огромное количество работ, посвященных физике гранулированных материалов, их подавляющее большинство -- это компьютерное моделирование явления, не более того. Настоящее же теоретическое описание поведения гранулированных материалов, как это не парадоксально, находится пока в зачаточном состоянии. Оказывается, что отличия гранулированных материалов от обычных веществ не только приводит к новым интересным явлениям, но и значительно усложняют их описание.
Стандартный подход к теоретическому описанию гранулированных жидкостей заключается в следующем. Берутся уравнения обычной гидродинамики и адаптируются с учетом специфики гранулированных материалов. А именно, вначале выбирается такое уравнение состояния гранулированной жидкости, которое могло бы приводить к кластеризации (то есть, локальная температура должна падать при повышении плотности). Далее, вводится дополнительный член, описывающий диссипацию энергии из-за неупругого столкновения частиц. Наконец, выбирается некая реологическая модель материала (модель, описывающая вязкоупругие свойства, то есть, то, как материал деформируется и течет под действием напряжений), а также фиксируется зависимость коэффициента теплопроводности от параметров гранулированной жидкости. После этого можно пытаться решить полученные уравнения и выводить из них наблюдаемые эффекты.
Плюс ссылки там тоже какие-то есть. Это тоже не совсем по теме, но как иллюстрация сложности задачи сойдёт ... Т.е. я даже не уверен что применимо одномерное упрощение. Впрочем я и не физик, больше ничем помочь не могу.
, действовало еще и дополнительное постоянное поле, квад-