Симметрия простанства

[Doctor_Den]

Законы сохранения енергии и импульса являются следствиями однородности и изотропности пространства. А какой симметрии (или свойству) пространства отвечает закон сохранения електрического заряда?

[VeiNo]

Калибровочной

[Doctor_Den]

Каллибровочной? А можно немножко поподробнее? Заранее благодарен

[Munin]

VeiNo
Не могли бы вы помочь разобраться? В Рубакове написано, что к сохранению тока приводят уже глобальные преобразования ("Классические калибровочные поля" § 2.8 "Теорема Нётер").

[VeiNo]

Munin
Ну для спинорных полей это именно так - токи, соответствующие глобальным преобразованиям совпадают с токами, соответствующими преобразованиям локальным.

Однако например для скалярного поля такого нет
Для глобальных
$j_{\mu}=-i(\phi^*\partial_{\mu}\phi-\phi(\partial_{\mu}\phi)^*)$
и он не инвариантен относительно локальных калибровочных

Для локальных
$j_{\mu}=-i(\phi^*D_{\mu}\phi-\phi(D_{\mu}\phi)^*)$
и он-то как раз инвариантен относительно локальных калибровочных и соответствует 4-вектору тока скалярного поля

Добавлено спустя 52 минуты 9 секунд:

Doctor_Den
Ну рассмотрю на примере того же спинорной электродинамики
$S=\int d^4x (-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+i\bar{\psi}\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi)$
где $D_{\mu}=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}$ - ковариантная производная
Действие инвариантно относительно таких преобразований (локальных калибровочных):
$A_{\mu}\to A_{\mu}+\partial_{\mu}\chi, \psi=\psi e^{-ie\chi}$

Тогда соответствующий им нетеровский ток:
$j^{\mu}=-e\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$
По теореме Нетер:
$\partial_{\mu}j^{\mu}=0$
и если проинтегрировать по всему пространству (при постоянном времени), получаем, что интеграл $\int d^3x j^{0}$ сохраняется

Как правильно заметил Мунин (вслед за Рубаковым, а уж кто это первый понял, Фок или Вейль или кто-то еще, я не знаю) для сохранения этой величины вполне достаточно инвариантности относительно глобальных калибровочных преобразований. При этом электромагнитное поле совершенно не обязательно, должна только быть симметрия относительно замены $\psi\to \psi e^{i\phi}$ где $\phi$ константа. Т.е. пси определена с точностью до фазы.

Тогда оказывается, что сохраняются те же токи. Только в данном случае это скорее имеет смысл сохранения полной вероятности или что-то типа того Для скалярного поля как я уже сказал токи разные.

Еще один момент. Что для скалярного, что для спинорного действие взаимодействия (т.е. если мы вытащим из ковариантной производной $A$) запишется в виде:
$\int d^4x j^{\mu}A_{\mu}$
что вполне знакомо по классической электродинамике.
Так вот, если отвлечься от всего, что было раньше и потребовать калибровочной инвариантности этого члена
$0=\int d^4x j^{\mu}\partial_{\mu}\chi=-\int d^4x \chi\partial_{\mu}j^{\mu}$
т.е. видно, что его калибровочная инвариантность эквивалентна уравнению непрерывности и соответственно закону сохранения электрического заряда.

[Gafield]

Doctor_Den в сообщении #153105 писал(а):

Законы сохранения енергии и импульса являются следствиями однородности и изотропности пространства.

Изотропности отвечает закон сохранения момента импульса. А сохранению энергии соответствует неизменность законов во времени.

[Munin]

VeiNo в сообщении #153267 писал(а):

Ну для спинорных полей это именно так - токи, соответствующие глобальным преобразованиям совпадают с токами, соответствующими преобразованиям локальным.

А почему? И идёт ли речь о спине 1/2 или n/2?

VeiNo в сообщении #153267 писал(а):

Так вот, если отвлечься от всего, что было раньше и потребовать калибровочной инвариантности этого члена

Но тогда нарушится калибровочная инвариантность оставшейся части с нековариантной производной $i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi$... Или нет?