Преобразование базисов и координат в ЛинАл

[Stensen]

Здравия всем. Помогите разобраться. Известна теорема: При аффинном преобразовании всякая декартова система координат (ДСК) переходит в ДСК, причем координаты образа каждой точки плоскости в новой ДСК будут совпадать с координатами прообраза в исходной.
Доказательство теоремы понятно. Но в конкретном примере получаю разные координаты для образа и прообраза. Например, для матрицы перехода:

$T = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7\\ \end{pmatrix}$ и начала координат в новой ДСК: $(OO')=(1;2)$ трансформирую прообраз: $(1;0)$ и в новой ДСК получаю образ: $(8;-6)$
Координаты образа и прообраза разные. Помогите понять, как увидеть одинаковость? Что должно совпадать?

[3D Homer]

Stensen в сообщении #1531769 писал(а):

Известна теорема: При аффинном преобразовании всякая декартова система координат (ДСК) переходит в ДСК, причем координаты образа каждой точки плоскости в новой ДСК будут совпадать с координатами прообраза в исходной.

Википедия по запросу "Прямоугольная система координат" говорит: "Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную)".

Stensen в сообщении #1531769 писал(а):

трансформирую прообраз: $(1;0)$ и в новой ДСК получаю образ: $(8;-6)$

Объясните, как получаете образ.

[Stensen]

3D Homer в сообщении #1531777 писал(а):

общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную)

Именно общую ДСК я имел в виду

3D Homer в сообщении #1531777 писал(а):

Stensen в сообщении #1531769 писал(а):

трансформирую прообраз: $(1;0)$ и в новой ДСК получаю образ: $(8;-6)$

Объясните, как получаете образ.

Из соотношения: $X = X_0 + CX'$ получаю: $X' = C^{-1}$(X\,-\,X_0)$ , где: $X_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}$ , $X'=\begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \\ \end{pmatrix}$ , $C^{-1}=\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3\\ \end{pmatrix}$ - соответственно, координаты нового начала, прообраза, образа и обратная матрица. Тогда:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x'_1 =1 + 7 x_1 - 4x_2 \\ x'_2 = -1 -5 x_1 +3 x_2 \\ \end{array} \right.$. Подставляю $X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ , получаю: $X'=\begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ \end{pmatrix}$

[wrest]

Stensen в сообщении #1531769 писал(а):

Помогите понять, как увидеть одинаковость? Что должно совпадать?

Давайте посмотрим на начало координат прообраза и образа. Начало координат в исходной системе $O$, и его образ в преобразованной системе $O'$. Образ и прообраз начала координат имеет координаты (каждый в своей системе) $(0;0)$ - т.е. координаты $O=(0;0)$ прообраза в исходной системе совпадают с координатами $O'=(0;0)$ образа в преобразованной, верно?

[Stensen]

wrest в сообщении #1531784 писал(а):

Давайте посмотрим на начало координат прообраза и образа. Начало координат в исходной системе $O$, и его образ в преобразованной системе $O'$. Образ и прообраз начала координат имеет координаты (каждый в своей системе) $(0;0)$ - т.е. координаты $O=(0;0)$ прообраза в исходной системе совпадают с координатами $O'=(0;0)$ образа в преобразованной, верно?

Верно

[wrest]

Stensen в сообщении #1531787 писал(а):

Верно

Но если поставить $(0;0)$ в ваши уравнения

Stensen в сообщении #1531782 писал(а):

Тогда:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x'_1 =1 + 7 x_1 - 4x_2 \\ x'_2 = -1 -5 x_1 +3 x_2 \\ \end{array} \right.$

то получится $(1;-1)$ Почему?

[Stensen]

wrest в сообщении #1531791 писал(а):

Если поставить $(0;0)$ в ваши уравнения, то получится $(1;-1)$ Почему?

$(1;-1)$ это координаты (в новой ДСК) начала координат $O$ старой ДСК.

[wrest]

Stensen в сообщении #1531796 писал(а):

это координаты (в новой ДСК) начала координат $O$ старой ДСК.

Ну вот и ответ. В теореме-то говорится о

Цитата:

координаты образа каждой точки плоскости в новой ДСК будут совпадать с координатами прообраза в исходной.

[Stensen]

wrest в сообщении #1531798 писал(а):

Ну вот и ответ. В теореме-то говорится о

Цитата:

координаты образа каждой точки плоскости в новой ДСК будут совпадать с координатами прообраза в исходной.

Правильно ли я понял, что здесь НЕ идет речь о численном совпадении координат при переходе в новый базис, а утверждается, что все точки останутся на своих местах, но в новой ДСК они получат новые числовые значения координат?

[wrest]

Stensen
В теореме речь идёт о том, что точки "переедут" по плоскости так, что численные значения их координат в новой системе сохранятся такими как были в старой. То есть: начало координат старое переедет в начало координат новое, точка $(1;1)$ переедет в точку $(1;1)$ и т.п.