Нигде не плотное множество - в шаре или точке?

[Vadim.bassin]

В определении нигде не плотного множества А в КФ говорится, что оно означает, что внутри любого шара есть шар В, не пересекающийся с А. Почему В определён, как шар? Ведь достаточно только одной точки, не принадлежащей А внутри любого шара, чтобы сделать А не полным в этом шаре.
А доказательство теоремы Бэра основано на том, что внутри М потом ищут следующий шар меньшего размера. Как так?

[Dan B-Yallay]

Vadim.bassin в сообщении #1531539 писал(а):

нигде не плотного множества

Vadim.bassin в сообщении #1531539 писал(а):

чтобы сделать А не полным

[Mikhail_K]

Vadim.bassin в сообщении #1531539 писал(а):

Ведь достаточно только одной точки, не принадлежащей А внутри любого шара, чтобы сделать А не полным в этом шаре.

Не плотным? Нет, это не так. Приведите определение, что значит "$A$ плотно в $B$".

[Vadim.bassin]

Да, забыл поставить замыкание. То есть должно выть написано «Ведь достаточно только одной точки, не принадлежащей [А] внутри любого шара в М, чтобы сделать А не плотным в этом шаре»

[mihaild]

Да, так лучше. Ну вот пусть есть точка, не принадлежащая замыканию. Что можно сказать про пересечение её окрестностей с исходным множеством?

[Vadim.bassin]

Предположим, что проколотые окрестности этой точки приналежат [А], но не сама точка. Сама точка только лежит в М

[mihaild]

Что такое $M$? Раньше было только множество $A$ (ну и шар $B$).

Vadim.bassin в сообщении #1531576 писал(а):

Предположим, что проколотые окрестности этой точки приналежат [А], но не сама точка.

А разве так бывает?

[Vadim.bassin]

М - это множество в котором А не плотно. В - любой шар в этом множестве.
А почему так не может быть? Например, Проколотая окрестность - само по себе открытое множество

-- 14.09.2021, 15:36 --

Тогда, правда получится, что и сама точка - открытое множество, но по не пойму, что с этим делать

-- 14.09.2021, 15:36 --

Тогда, правда получится, что и сама точка - открытое множество, но по не пойму, что с этим делать

[mihaild]

Попробуйте привести конкретный пример. Когда не получится - подумайте, как доказать, что так не бывает вообще (это тривиально следует из определения замкнутого множества).

[Vadim.bassin]

Ок, может понял. Получается, что наша точка Т не является предельной точкой А и сама по себе своя окрестность, в корой А не плотно. Так?

[mihaild]

Vadim.bassin в сообщении #1531583 писал(а):

Получается, что наша точка Т не является предельной точкой А

Да.

Vadim.bassin в сообщении #1531583 писал(а):

Получается, что наша точка Т не является предельной точкой А и сама по себе своя окрестность, в корой А не плотно

Это что-то непонятное. Что значит "сама по себе своя окрестность"?

[Vadim.bassin]

Точка - открытое множество и является своей окрестностью

[mihaild]

Vadim.bassin в сообщении #1531589 писал(а):

Точка - открытое множество и является своей окрестностью

Далеко не во всех пространствах одна точка - это открытое множество (такое скорее исключение, чем правило).

[Vadim.bassin]

Да, но только в этом случае она может быть единственной, не пронадлежащей [А], правильно?
А это был именно тот случай, который меня занимал.

[Vadim.bassin]

mihaild
Вопрос: в определении плотного можества фигурирует понятие окрестности (в которой внешнее множство плотно). Имеется в виду любая окрестность, или только открытая?
То же в нигде не плотном множестве: имеются в виду что оно не плотно в только в открытых окрестностях, или в любых?

Я вижу разные определения окрестности, запутался...