не понятно как использовать закон Кирхгофа для обобщ. цепи

[Kevsh]

Равенства справа вроде понятны, но не до конца. Это первый и второй законы Кирхгофа. Чтобы прийти к первому равенству, я думаю, нужно рассмотреть правый узел (слева от значка $I_k$). Ток $I_k$ из этого узла выходит, значит у него плюс. Вот дальше не совсем понятно. Я правильно понимаю, что ток верхнего участка тоже выходит из этого узла, но уже в другую сторону? И самый главный вопрос – почему во втором законе Кирхгофа $E_K$ и $U_K$ сонаправлены? Просто не очень понятно, как определять направление $U_K$.

[sergey zhukov]

Мы же с вами вроде бы разбирали, как это работает.

Возьмем вашу схему и заменим все элементы просто квадратами с двумя выводами (двухполюсник). Т.к. это только кусок схемы, дорисуем оставшуюся систему в виде четвертого квадрата:

Предположим, нам ничего неизвестно об элементах. Только то, что у них по два вывода. Первое, что мы делаем - рисуем систему координат. Т.е. выбираем направление тока и напряжения (падения напряжения, т.е. стрелка напряжения всегда показывает направление, в котором потенциал уменьшается (от $+$ к $-$)) в каждом элементе. Это можно делать совершенно произвольным образом. Точно так же мы поступаем, когда рисуем оси координат в задачах, например, механики. Мы говорим "Направим ось "х" вверх, тогда проекция силы тяжести на нее будет отрицательной" или "направим ось "х" вниз, тогда проекция силы тяжести на нее будет положительной". Здесь мы делаем тоже самое. Например, я так расставил направления токов и напряжений. Мы можете это сделать любым другим способом:

Теперь пишем уравнения Кирхгофа для суммы токов в местах соединения элементов (три уравнения) и суммы напряжений в контурах, образуемых элементами (два уравнения):

$$i_1+i_2+i_4=0$$

$$i_2-i_3=0$$

$$i_1+i_3+i_4=0$$

$$u_1-u_4=0$$

$$u_2+u_3-u_4=0$$

Тут все просто: выбрали, что направление тока в узел - с плюсом, и придерживаемся этого правила для данного узла (вообще, в каждом узле можем пользоваться произвольным правилом, что очевидно, если полученное уравнение умножить на -1. Например, в первом уравнении я считал, что выходящие из узла токи - с плюсом, а в третьем - что входящие в узел - с плюсом). Или выбрали, что направление напряжения по часовой стрелке в контуре - с плюсом, и придерживаемся этого правила для данного контура (вообще, в каждом контуре можем пользоваться произвольным правилом, что очевидно, если уравнение умножить на -1).
Обратите внимание, что уравнения Кирхгофа можно составить, вообще не зная, что за элементы скрываются за прямоугольниками. Уравнения Кирхгофа описывают только способ соединения любых элементов в схему.

Теперь пора вспомнить, что каждый двухполюсник - это конкретный элемент, который как-то связывает между собой свои ток и напряжение. В простейшем случае один из параметров может быть задан прямо (как у источника тока или источника напряжения). В более сложных случаях это может быть связь типа $f(i, u)=0$ (как для резистора, например) или $f(u, i, \frac{du}{dt}, \frac{di}{dt})=0$ (как для для емкости и индуктивности, например) или еще какая-нибудь более сложная связь.

В нашем случае это:

Источник тока 1, для которого имеем просто $i_1=-J_k$ (с минусом, т.к. проекция тока источника на выбранную мной ось $i_1$ отрицательна);

Источник напряжения 3, для которого просто $u_3=-E_k$ (с минусом, т.к. "+" у источника напряжения всегда там, куда указывает стрелка внутри него, т.е. падение напряжения на источнике направлено справа-налево, против моей оси $u_3$);

Резистор 2, для которого $u_2=i_2R_k$ (с плюсом, т.к. ток через резистор всегда течет в направлении падения напряжения, как я и нарисовал. Если бы я изначально нарисовал стрелки тока и напряжения здесь в разные стороны, то просто поставил бы здесь минус);

Внешняя система 4. Ее уравнения мы не знаем, поэтому оно нам просто должно быть дано по условию задачи.

Теперь осталось решить все эти уравнения совместно.

[Kevsh]

Я не очень понимаю, как вы в вашей схеме получили такие уравнения.
1)Рассмотрим сначала уравнения для первого закона Кирхгофа. Первое уравнение - как я понял вы рассматриваете левый узел. $i_1$ явно из него выходит, $i_2$ тоже выходит, ну и $i_4$ тоже выходит, тут, вроде как, всё понятно – у всех названных токов один и тот же знак.
Далее идёт уравнение, которое я совершенно не понимаю. Как я понял, один и тот же ток на цепи сохраняется от узла/элемента до следующего узла/элемента. В этом случае мне, честно говоря, не понятно, как ток будет между элементами 2 и 3. Вот я и не понимаю, как вообще токи $i_2$ и $i_3$ могут быть в одном уравнении, если они не взаимодействуют с одним и тем же узлом. Я думаю, что моя проблема во втором предложении этого абзаца, но я никак не могу найти ничего такого в учебниках и интернете.
Третье уравнение вроде понятно – вы рассматриваете правый узел, токи $i_1$, $i_3$, $i_4$ в него входят, значит у них один знак.
2)Рассмотрим уравнения для второго закона Кирхгофа. Тут, вроде как, всё понятно - обходим по часовой стрелке. Правильно ли я понимаю, что можно выделить ещё один контур и записать вот такое уравнение: $U_2 + U_3 - U_1 = 0$?

[sergey zhukov]

Kevsh
1) Обычно когда рассматривают несколько последовательных элементов, то сразу говорят: это ветвь, в ней токи всех элементов равны. В нашем примере элементы 2 и 3 соединены последовательно. Вместо того, чтобы писать уравнение для баланса токов в узле между элементами 2 и 3 (в этом узле соединяются не три, а два провода элементов 2 и 3 и для него уравнение баланса токов есть как раз $i_2-i_3=0$) можно сразу записать, что ток в этой последовательной цепи для всех элементов одинаковый $i_{23}=i_2=i_3$. Так обычно и делают и точку соединения двух проводов узлом не считают. Если вам это сразу понятно, то тоже можете так записывать. Т.к. из двух неизвестных токов $i_2$ и $i_3$ и уравнения $i_2-i_3=0$ сразу следует, что $i_1=i_2=i_{23}$, то можно сразу так и записывать: одинаковый ток для всех последовательных элементов. Я тут старался показать общий, формальный подход. Формально мы как бы не знаем, что ток, который выходит из одного элемента, в точности равен току, который входит в следующий элемент, если между ними ничего больше не подключено. Это формально следует из баланса токов в узле. Но, конечно, мы это знаем и можем не плодить лишних переменных и уравнений. Если приходится писать уравнение, где одна неизвестная просто приравнивается к другой (например, ток в последовательной цепи или напряжение на параллельных элементах), то этот шаг просто опускается и сразу записывается одна общая переменная для всех таких элементов.

2) Да, такой контур можно выделить, но если вы посмотрите на уравнения для двух уже обойденных контуров, то заметите, что ваше третье уравнение - это следствие тех двух. Оно ничего не добавляет. Можно его написать, но это просто дублирование уже имеющихся уравнений. Можно так же заметить, что первое и третье уравнения для токов в узлах - это (с учетом второго уравнения) на самом деле одно и то же уравнение. Так что одно из трех уравнений для токов в узлах тоже лишнее. Его можно было и не писать. Если подходить по всей форме, то нужно было бы написать три уравнения для узлов и три уравнения для контуров. Для контуров я лишнее писать не стал, а для токов зачем-то написал.

[Kevsh]

sergey zhukov в сообщении #1531404 писал(а):

Kevsh
1) Обычно когда рассматривают несколько последовательных элементов, то сразу говорят: это ветвь, в ней токи всех элементов равны. В нашем примере элементы 2 и 3 соединены последовательно. Вместо того, чтобы писать уравнение для баланса токов в узле между элементами 2 и 3 (в этом узле соединяются не три, а два провода элементов 2 и 3 и для него уравнение баланса токов есть как раз $i_2-i_3=0$) можно сразу записать, что ток в этой последовательной цепи для всех элементов одинаковый $i_{23}=i_2=i_3$. Так обычно и делают и точку соединения двух проводов узлом не считают. Если вам это сразу понятно, то тоже можете так записывать. Т.к. из двух неизвестных токов $i_2$ и $i_3$ и уравнения $i_2-i_3=0$ сразу следует, что $i_1=i_2=i_{23}$, то можно сразу так и записывать: одинаковый ток для всех последовательных элементов. Я тут старался показать общий, формальный подход. Формально мы как бы не знаем, что ток, который выходит из одного элемента, в точности равен току, который входит в следующий элемент, если между ними ничего больше не подключено. Это формально следует из баланса токов в узле. Но, конечно, мы это знаем и можем не плодить лишних переменных и уравнений. Если приходится писать уравнение, где одна неизвестная просто приравнивается к другой (например, ток в последовательной цепи или напряжение на параллельных элементах), то этот шаг просто опускается и сразу записывается одна общая переменная для всех таких элементов.

2) Да, такой контур можно выделить, но если вы посмотрите на уравнения для двух уже обойденных контуров, то заметите, что ваше третье уравнение - это следствие тех двух. Оно ничего не добавляет. Можно его написать, но это просто дублирование уже имеющихся уравнений. Можно так же заметить, что первое и третье уравнения для токов в узлах - это (с учетом второго уравнения) на самом деле одно и то же уравнение. Так что одно из трех уравнений для токов в узлах тоже лишнее. Его можно было и не писать. Если подходить по всей форме, то нужно было бы написать три уравнения для узлов и три уравнения для контуров. Для контуров я лишнее писать не стал, а для токов зачем-то написал.

Спасибо вам большое! Теперь всё понятно.