Аддитивность+непрерывность=счетная аддитивность

[artempalkin]

Друзья, подскажите, где можно найти доказательство такой теоремы для меры? Искал в Колмогорове, но вроде бы не нашел (хотя был в полной уверенности, что она там есть)

[Someone]

artempalkin в сообщении #1531173 писал(а):

где можно найти доказательство такой теоремы для меры?

Сами докажите. Просто сведите счётную аддитивность к непрерывности.

[artempalkin]

Someone в сообщении #1531180 писал(а):

Сами докажите. Просто сведите счётную аддитивность к непрерывности.

Ну да, я думаю, сложно быть не должно, но что-то все-таки не врубаюсь.

Если у меня есть $\{A_i\}$ - счетное число попарно непересекающихся множеств, то как мне привести их к счетному числу вложенных друг в друга множеств, чтобы использовать непрерывность? Вот этот момент неясен.

[Someone]

artempalkin в сообщении #1531181 писал(а):

как мне привести их к счетному числу вложенных друг в друга множеств, чтобы использовать непрерывность?

А как непрерывность из счётной аддитивности выводится? Сделайте обратное преобразование.

[artempalkin]

В общем, примерно так. Пусть у нас есть счетное множество попарно непересекающихся множеств $\{A_n\}$.

Рассмотрим набор множеств:

$\{B_n=\cup\limits_{k=n}^{\infty}A_k\}$

Тогда:

$\mu\left(\cup\limits_{k=n}^{\infty}A_k\right)=\mu\left(\cap\limits_{k=1}^nB_k\right)$

Тогда из непрерывности нормы:

$\lim\limits_{n\to\infty}\mu\left(\cup\limits_{k=n}^{\infty}A_k\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu\left(\cap\limits_{k=1}^nB_k\right)=\mu\left(\cap\limits_{k=1}^{\infty}B_k\right)=0$

Равенство нулю - потому что ни один элемент не принадлежит пересечению всех $B_n$. В самом деле, если этот элемент не принадлежит $A_n$, то он не будет принадлежать никакому их объединению, то есть никакому из $B_k$. Если же элемент принадлежит некоторому $A_k$, то он не будет принадлежать $B_{k+1}$, а значит и пересечению всех $B_n$.

Рассмотрим теперь:

$\mu\left(\cup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\mu\left(A_k\right)+\mu\left(\cup\limits_{k=n}^{\infty}A_k\right)$

Перейдем к пределу $n\to\infty$. Слева константа, справа предел второго слагаемого есть $0$. Значит, предел первого слагаемого справа существует и по определению равен сумме ряда:

$\mu\left(\cup\limits_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\mu\left(A_k\right)$

чтд!