Теория множеств, аксиома пары

[Qlin]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0 ... 1%80%D1%8B

Согласно Википедии, аксиому пары можно вывести из схемы преобразования:
$\forall a \exists d \forall c \ (c \in d \ \leftrightarrow \ \exists b \ (b \in a \ \land \ c = \mathrm{f}(b) \ ))$, если положить $a = \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ и выбрать функцию $\mathrm{f}$ такой, что $c = \mathrm{f}(b) \ \Leftrightarrow \ (b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)$
Проблема в том, что в формуле $(b = \varnothing \to c = a_1) \land (b \ne \varnothing \to c = a_2)$ содержатся 4 свободных переменных: $a_1$, $a_2$, $b$, $c$. Чтобы использовать схему преобразования, надо сократить число свободных переменных до двух. Или нет? Я не понимаю.

[rishelie]

Смысл схемы преобразования (схемы аксиом подстановки) в том, что если у вас есть некоторая формула со свободными переменными $x$ и $y$, причем одному $x$ всегда соответствует только один $y$ (свойство функциональности=однозначности), то образом множества будет множество (т.е. если $x$ пробегает множество, то соответствующие $y$ пробегают тоже некоторое множество).
В ней не говорится, что такая формула не может содержать еще какие-то параметры (точно так же, как схема индукции в арифметике).
Далее просто пишем такую формулу, которая реализует функцию $f(\emptyset)=a_1$ и $f(x)=a_2$ для любого непустого $x$ и любых параметров $a_1, a_2$.
Теперь берем множество $P^2(\emptyset)$, его образом будет $\{a_1,a_2\}$, которое есть некоторое множество по данной схеме аксиом.

Таким образом, в схеме аксиом две переменных $x,y$ отвечают за реализацию функциональной зависимости, а переменные $a_1$ и $a_2$ - это параметры (свободные переменные).

Просто обычно в матлогике принято не указывать свободные переменные, если они никак не участвуют в формулировках. Подразумевается, что они могут быть добавлены в неограниченном количестве и закрыты кванторами всеобщности. И только если требуется уточнить наличие/отсутствие параметров (как, например, для схемы индукции без параметров), это оговаривается явным образом.