Термодинамика: выведенный из равновесия поршень в термостате

[apt]

Прошу проверить правильность моего решения и суждений
Условие:
Сосуд с площадью $S$ помещён в термостат. В нем находится газ, прикрытый сверху поршнем с массой $m$, который в положении равновесия находится на высоте $l_0$ от дна сосуда. Что будет с поршнем, если вывести его из равновесия на $l$? Атмосферное давление $p_0$
Мои рассуждения:
В связи с условием считаем все процессы изотермическими.
Изначально в сосуде возникает добавочное давление из-за веса поршня: $p_p=\frac{mg}{S}$
При сдвиге поршня на $l$, объём газа изменяется на $\Delta V = Sl$
В соответствии с законом Бойля-Мариотта: $(p_0+p_p)V = (p_0+p_p+\Delta p)(V+\Delta V)$
Откуда

$$\Delta p = \frac{(p_0+p_p)V}{V+ \Delta V}-p_0-p_p=-\frac{(p_0+p_p)\Delta V}{V+\Delta V}=-\frac{(p_0+p_p)l}{l_0+ l}$$

Это добавочное давление, создающееся при отклонении поршня на $l$
Сила, возвращающая поршень "на место":

$$F=\Delta p \cdot S=-\frac{(p_0\cdot S+mg)l}{l_0+ l}=ma=ml''$$

$$l''+\frac{(p_0\cdot S+mg)l}{m(l_0+l)}=0$$

Это всё мне очень напоминает уравнение колебаний с циклической частотой

$$\omega^2=\frac{(p_0\cdot S+mg)}{m(l_0+ l)}$$

Верна ли аналогия?

[realeugene]

apt в сообщении #1530680 писал(а):

В связи с условием считаем все процессы изотермическими.

Каков ваш уровень знания физики и откуда эта задача? Сделанное вами предположение как правило неверно: равновесие давления обычно устанавливается гораздо быстрее равновесия температуры.

-- 05.09.2021, 16:49 --

apt в сообщении #1530680 писал(а):

Изначально в сосуде возникает добавочное давление из-за веса поршня: $p_p=\frac{mg}{S}$

И это тоже откуда?

[apt]

realeugene в сообщении #1530689 писал(а):

apt в сообщении #1530680 писал(а):

В связи с условием считаем все процессы изотермическими.

Каков ваш уровень знания физики и откуда эта задача? Сделанное вами предположение как правило неверно: равновесие давления обычно устанавливается гораздо быстрее равновесия температуры.

apt в сообщении #1530680 писал(а):

Изначально в сосуде возникает добавочное давление из-за веса поршня: $p_p=\frac{mg}{S}$

И это тоже откуда?

2 курс ТУ. А это из логики - изначально в сосуде атмосферное давление, а накрыли весомым поршнем - он давит на газ.
И как здесь может установиться равновесие давления? Считаем, что трения нет

[realeugene]

apt в сообщении #1530690 писал(а):

а накрыли весомым поршнем - он давит на газ.

Он давит на газ с силой давления газа.

[sergey zhukov]

apt
У вас получается, что если $\Delta l=-l$, то $\Delta p \to -\infty$. $\Delta V$ и $\Delta P$ должны быть с разными знаками.

Для ясности так же лучше вместо $\Delta l$ писать просто $l$, а вместо $l$ (высота сосуда) - $l_0$. $l$ - это ведь не постоянная, а переменная. Текущее значение отклонения. $\Delta l$ - это начальное условие, постоянная, которую вы будете подставлять в уравнение колебаний позднее. А так у вас неразбериха получается.

Как видите, возвращающая сила не пропорциональна отклонению (колебания не гармонические). У вас сама циклическая частота зависит от $l$, т.е. частота зависит от амплитуды. У гармонических же колебаний такой зависимости нет.

Только при малой амплитуде, когда $l_0+l \approx l_0 = \operatorname{const}$ колебания поршня приблизительно гармонические.

[apt]

sergey zhukov в сообщении #1530697 писал(а):

apt
У вас получается, что если $\Delta l=-l$, то $\Delta p \to -\infty$. $\Delta V$ и $\Delta P$ должны быть с разными знаками.

Для ясности так же лучше вместо $\Delta l$ писать просто $l$, а вместо $l$ (высота сосуда) - $l_0$. $l$ - это ведь не постоянная, а переменная. Текущее значение отклонения. $\Delta l$ - это начальное условие, постоянная, которую вы будете подставлять в уравнение колебаний позднее. А так у вас неразбериха получается.

Как видите, возвращающая сила не пропорциональна отклонению (колебания не гармонические). У вас сама циклическая частота зависит от $l$, т.е. частота зависит от амплитуды. У гармонических же колебаний такой зависимости нет.

Только при малой амплитуде, когда $l_0+l \approx l_0 = \operatorname{const}$ колебания поршня приблизительно гармонические.

Про обозначения согласен.
Колебания да, не гармонические - чтобы их описать - нужно решить диффур?
А энергия не будет уходить в термостат? Или это уже описано и из-за этого негармоничность колебаний?

[realeugene]

apt в сообщении #1530702 писал(а):

А энергия не будет уходить в термостат?

Будет, но медленнее периода колебаний поршня. Впрочем, что именно подразуммевали авторы задачи не вполне очевидно.

[sergey zhukov]

apt
Не знаю, что в задаче подразумевается под ответом на вопрос "что будет с поршнем, если вывести его из равновесия на $\Delta l$?". Можно просто сказать "поршень будет колебаться". Можно написать дифференциальное уравнение этих колебаний. Можно найти частоту и амплитуду этих колебаний. А можно и решить уравнение и найти $x=x(t)$.

Насчет затухания колебаний вы сами-то что думаете? Негармоничность - отнюдь не признак затухания. Это просто нелинейная пружина. Какой член в уравнении колебаний приводит к затуханию?