Жидкость на поверхности стола

[profilescit]

Пусть на поверхность стола разлили жидкость плотности $\rho$, массы $m$ и коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$. Все находится в однородном поле тяжести земли $g$.

Теперь допустим что воду разлили так аккуратно, что по сути в начальный момент она представляла собой цилиндр малой высоты и площади поперечного сечения $S_0$.

Так как жидкость постарается минимизировать свою энергию, она придет к какому-то равновесному состоянию которое характеризуется площадью равновесного состояния

Она у меня получилась, если нигде не ошибся, $S_e = m \sqrt{\frac{g}{2 \rho \sigma}}$ откуда кстати красиво получается что высота цилиндра в равновесии будет $\sqrt{\frac{2 \sigma}{\rho g}}$.

Я же хотел оценить время за которое жидкость придет из начального состояния в равновесное.

Полная энергия жидкости будет $E = \sigma S + m g h /2 + E_{k}$. (последнее слагаемое является кинетической энергией)

где $h = \frac{m}{\rho S}$

И тут у меня начинаются трудности чтобы оценить кинетическую энергию, ведь при движении лишь какое-то краевое "кольцо" будет двигаться, толкая к центру жидкости которая ранее была неподвижна, на подобии волны.

Если грубо и в лоб, кинетическая энергия будет $\frac{m \dot{r}^2}{2}$

И тогда $\pi \sigma r^2 + \frac{m^2 g}{\pi \rho r^2} + \frac{m \dot{r}^2}{2} = const$

Или же $2 \pi \sigma r - \frac{ 2 m^2 g}{\pi \rho r^3} + m \ddot{r} = 0$

Помогите разобраться, как можно сделать более подходящую модель (если такое возможно) и верны ли мои выводы при моих грубых допущениях касательно кинетической энергии.

[realeugene]

profilescit в сообщении #1530417 писал(а):

верны ли мои выводы при моих грубых допущениях касательно кинетической энергии.

Если разлит мёд, то кинетическая энергия не будет играть никакой роли. По поводу воды не знаю. Нужно учитывать вязкость жидкости.

[sergey zhukov]

profilescit
Если не учитывать вязкость, получатся колебания цилиндра, а не достижение равновесного состояния. Можно, конечно, решать задачу колебаний.

Приближение для кинетической энергии легко улучшить. Распределите радиальную скорость по радиусу линейно от нуля в центре до максимума на периферии. Проинтегрируйте кинетические энергии круговых слоев и получите $m\dot{r}^2$ с некоторым поправочным коэффициентом. Тут, правда, не учитывается осевая скорость, так что это будет приблизительно работать, только пока осевые скорости малы в сравнении с радиальными, т.е. пока скорость роста высоты цилиндра мала в сравнении с уменьшением его радиуса.

Модельную задачу про колебания цилиндра при постоянной полной его энергии и известным законом распределения скоростей жидкости по его объему для каждого его положения можно решить достаточно точно. Насколько это будет соответствовать реальной жидкости? Без учета вязкости - наверное не очень хорошо.

[GraNiNi]

profilescit в сообщении #1530417 писал(а):

Так как жидкость постарается минимизировать свою энергию, она придет к какому-то равновесному состоянию которое характеризуется площадью равновесного состояния

На это влияет также смачиваемость жидкостью конкретной поверхности, на которой она разлита и это необходимо тоже учитывать.
Например, керосин растечется на стекле в тонкую пленку, а у ртути будет заметная толщина.

[DimaM]

GraNiNi в сообщении #1530470 писал(а):

На это влияет также смачиваемость жидкостью конкретной поверхности, на которой она разлита и это необходимо тоже учитывать.
Например, керосин растечется на стекле в тонкую пленку, а у ртути будет заметная толщина.

Так это все в поверхностных энергиях сидит. У ртути поверхностная энергия на контакте с воздухом и с подложкой высокая, поэтому минимизируется в большей степени соответственные площади границ.

profilescit
При малой толщине вязкость будет сильно влиять. Критерий здесь - число Онезорге, для возможности пренебречь вязкостью оно должно быть маленьким (число Лапласа, соответственно, большим).

[profilescit]

sergey zhukov

спасибо, учел поправку для кинетической энергии, получается $\frac{1}{4} m \dot{r}^2$

DimaM

Спасибо, все таки придется обратить внимание на вязкость.


Вернусь сюда как дополню модель, спасибо всем за мысли и помощь

[GraNiNi]

DimaM в сообщении #1530472 писал(а):

Так это все в поверхностных энергиях сидит.

В формуле только поверхностное натяжение, но отсутствует угол смачивания, который будет влиять на высоту равновесного цилиндра в большей степени.

profilescit в сообщении #1530417 писал(а):

получается что высота цилиндра в равновесии будет $\sqrt{\frac{2 \sigma}{\rho g}}$.

[GraNiNi]

Вот здесь учитывается влияние смачивания на толщину слоя разлитой жидкости:
https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-1504

[DimaM]

GraNiNi в сообщении #1530536 писал(а):

В формуле только поверхностное натяжение, но отсутствует угол смачивания, который будет влиять на высоту равновесного цилиндра в большей степени.

Поверхностных натяжений на самом деле три (жидкость-газ, жидкость-твердое, газ-твердое), они-то и определяют угол смачивания. Если говорят просто про коэффициент поверхностного натяжения, имеют в в виду первое.